એક વિધેય y = f(x) એ (x + 1) f'(x) - 2(x^2 + x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x + 1) f'(x) - 2x(x + 1) f(x) = \frac{e^{x^2}}{x + 1}$.$(x + 1)$ વડે ભાગતા (કારણ કે $x > -1$): $f'(x) - 2x f(x) = \frac{e^{x^2

Vedclass · Accepted Answer

$\left( \frac{6x + 5}{x + 1} \right) e^{x^2}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x + 1) f'(x) - 2x(x + 1) f(x) = \frac{e^{x^2}}{x + 1}$.$(x + 1)$ વડે ભાગતા (કારણ કે $x > -1$): $f'(x) - 2x f(x) = \frac{e^{x^2}}{(x + 1)^2}$.આ $f'(x) + P(x) f(x) = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -2x$ અને $Q(x) = \frac{e^{x^2}}{(x + 1)^2}$.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -2x dx} = e^{-x^2}$.સમીકરણને $IF$ વડે ગુણતા: $e^{-x^2} f'(x) - 2x e^{-x^2} f(x) = \frac{1}{(x + 1)^2}$.આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{d}{dx} [f(x) e^{-x^2}] = \frac{1}{(x + 1)^2}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $f(x) e^{-x^2} = \int \frac{1}{(x + 1)^2} dx = -\frac{1}{x + 1} + C$.આપેલ છે કે $f(0) = 5$: $5 e^0 = -\frac{1}{0 + 1} + C \implies 5 = -1 + C \implies C = 6$.તેથી,$f(x) e^{-x^2} = 6 - \frac{1}{x + 1} = \frac{6(x + 1) - 1}{x + 1} = \frac{6x + 5}{x + 1}$.આમ,$f(x) = \left( \frac{6x + 5}{x + 1} \right) e^{x^2}$.

એક વિધેય $y = f(x)$ એ $(x + 1) f'(x) - 2(x^2 + x) f(x) = \frac{e^{x^2}}{x + 1}$ નું સમાધાન કરે છે,જ્યાં $x > -1$. જો $f(0) = 5$ હોય,તો $f(x)$ શું છે?

Similar Questions

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module