એક નિસરણી (સીડી) દીવાલ સાથે એવી રીતે ગોઠવેલી છે કે તેનો ઉપરનો છેડો દીવાલની ટોચને સ્પર્શે છે. નિસરણીનો નીચેનો છેડો દીવાલથી $10 \, ft$ દૂર છે અને નિસરણી જમીન સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. જ્યારે એક માણસ તેના પર ચઢવાનું શરૂ કરે છે,ત્યારે તે લપસી જાય છે અને હવે નિસરણી જમીન સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. નિસરણી દીવાલની ટોચ પરથી કેટલા ફૂટ નીચે લપસી હશે? (ફૂટમાં)

જો $\tan A$ અને $\tan B$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 - 10x - 25 = 0$ ના બીજ હોય,તો $3 \sin^2 (A + B) - 10 \sin (A + B) \cos (A + B) - 25 \cos^2 (A + B)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x) = Ax^3 - Bx - \tan x \cdot \text{sgn}(x)$ એ તમામ $x \in \mathbb{R} - \left\{ (2n + 1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbb{Z} \right\}$ માટે યુગ્મ વિધેય છે, જ્યાં $A = \sin^2 \alpha - \sin \alpha + \frac{1}{4}$ અને $B = \tan^2 \alpha + \frac{2}{\sqrt{3}} \tan \alpha + \frac{1}{3}$ છે. તો $\left[ -\frac{3\pi}{2}, 2\pi \right]$ અંતરાલમાં $\alpha$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા શોધો (જ્યાં $\text{sgn}(x)$ એ $x$ નું સિગ્નમ વિધેય દર્શાવે છે).

$ABC$ એક ત્રિકોણ છે. જો $\sin \left(\frac{A+B}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ હોય,તો $\sin \frac{C}{2}$ ની કિંમત શોધો.

આપેલ છે કે $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2},$ તો પદાવલિ $\sqrt{4\sin^4 \alpha + \sin^2 2\alpha} + 4\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \right)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\sin \theta + \text{cosec} \theta = 2$ હોય,તો $\sin^{10} \theta + \text{cosec}^{10} \theta$ ની કિંમત શોધો.