मूल बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा l,रेखाओं l_1 | vedclass

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Question

(B) माना रेखा $l$ का समीकरण $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = k$ है। चूँकि $l$,$l_1$ और $l_2$ पर लंब है,इसलिए इसके दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ का

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$(B, D)$

Vedclass · Answer

(B) माना रेखा $l$ का समीकरण $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = k$ है। चूँकि $l$,$l_1$ और $l_2$ पर लंब है,इसलिए इसके दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ का $l_1$ और $l_2$ के दिक्-सदिशों के साथ डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए।$l_1$ की दिशा $\vec{v_1} = (1, 2, 2)$ है और $l_2$ की दिशा $\vec{v_2} = (2, 2, 1)$ है।अतः,$a + 2b + 2c = 0$ और $2a + 2b + c = 0$ है।इन्हें हल करने पर,हमें $\frac{a}{2-4} = \frac{b}{4-1} = \frac{c}{2-4} \Rightarrow \frac{a}{-2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{-2}$ प्राप्त होता है।अतः,रेखा $l$ का समीकरण $\frac{x}{-2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-2} = k_1$ है। $l$ और $l_1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $P$,$(-2k_1, 3k_1, -2k_1) = (3+t, -1+2t, 4+2t)$ को हल करके प्राप्त होता है।$3+t = -2k_1$,$-1+2t = 3k_1$ और $4+2t = -2k_1$ को हल करने पर,हमें $k_1 = -1$ प्राप्त होता है,इसलिए $P = (2, -3, 2)$ है।माना $l_2$ पर एक बिंदु $Q = (3+2s, 3+2s, 2+s)$ है। दूरी $PQ = \sqrt{17}$ होने के कारण:$(3+2s-2)^2 + (3+2s+3)^2 + (2+s-2)^2 = 17$$(1+2s)^2 + (6+2s)^2 + s^2 = 17$$1 + 4s + 4s^2 + 36 + 24s + 4s^2 + s^2 = 17$$9s^2 + 28s + 37 = 17 \Rightarrow 9s^2 + 28s + 20 = 0$$(9s + 10)(s + 2) = 0 \Rightarrow s = -2, s = -\frac{10}{9}$ है।$s = -2$ के लिए,$Q = (-1, -1, 0)$ है।$s = -\frac{10}{9}$ के लिए,$Q = (3 - \frac{20}{9}, 3 - \frac{20}{9}, 2 - \frac{10}{9}) = (\frac{7}{9}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9})$ है।अतः,बिंदु $(-1, -1, 0)$ और $(\frac{7}{9}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9})$ हैं,जो विकल्प $(B, D)$ के अनुरूप है।

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यदि रेखाएं $\frac{x-k}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3}$ और $\frac{x+1}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+3}{1}$ समतलीय हैं,तो $k$ का मान $.....$ है।

बिंदु $(1, 2, 3)$ से गुजरने वाली और रेखाओं $\frac{x-2}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-2}$ और $\frac{x}{2} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{1}$ पर लंब रेखा का समीकरण है

रेखाओं $\overline{r}=(2 \hat{i}-\hat{j})+\lambda(2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k})$ और $\overline{r}=(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})+\mu(2 \hat{i}+\hat{j}-5 \hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

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