एक व्यक्ति रेसकोर्स पर दौड़ते हुए नोट करता है | vedclass

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Question

(A) माना $A$ और $B$ दो फ्लैग पोस्ट की स्थितियाँ हैं और $P(x, y)$ व्यक्ति की स्थिति है। प्रश्न के अनुसार,$PA + PB = 10$ है। हम जानते हैं कि यदि कोई बिं

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$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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(A) माना $A$ और $B$ दो फ्लैग पोस्ट की स्थितियाँ हैं और $P(x, y)$ व्यक्ति की स्थिति है। प्रश्न के अनुसार,$PA + PB = 10$ है। हम जानते हैं कि यदि कोई बिंदु समतल में इस प्रकार गति करता है कि दो स्थिर बिंदुओं से उसकी दूरियों का योग स्थिर रहता है,तो वह पथ एक दीर्घवृत्त (ellipse) होता है और यह स्थिर मान दीर्घवृत्त की मुख्य अक्ष की लंबाई $(2a)$ के बराबर होता है। अतः,यह पथ एक दीर्घवृत्त है जहाँ मुख्य अक्ष की लंबाई $2a = 10 \, m$ है,इसलिए $a = 5$ है। नाभियों के बीच की दूरी $(2c)$ $8 \, m$ है,इसलिए $c = 4$ है। संबंध $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $4^{2} = 5^{2} - b^{2}$ प्राप्त होता है। $16 = 25 - b^{2} \Rightarrow b^{2} = 9$। इस प्रकार,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है,जो $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ है।

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यदि $P \equiv (x, y)$,$F_1 \equiv (3, 0)$,$F_2 \equiv (-3, 0)$ और $16x^2 + 25y^2 = 400$ है,तो $PF_1 + PF_2$ का मान ज्ञात कीजिए।

दीर्घवृत्त $3x^{2} + 4y^{2} = 12$ की उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $y + 2x = 4$ पर लंब हैं।

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