$1, 2, 3, \ldots, 12$ અંકિત કરેલી $12$ બાજુવાળા બે સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે છે. પાસા પર મળતા અંકોનો સરવાળોને $9$ વડે ભાગતા શેષ $2$ મળે તેની સંભાવના કેટલી છે?

ધારો કે $S = \{w_1, w_2, \ldots\}$ એ એક યાદચ્છિક પ્રયોગ સાથે સંકળાયેલ નિદર્શાવકાશ છે. ધારો કે $P(w_n) = \frac{P(w_{n-1})}{2}, n \geq 2$ માટે. ધારો કે $A = \{2k + 3\ell : k, \ell \in \mathbb{N}\}$ અને $B = \{w_n : n \in A\}$. તો $P(B)$ ની કિંમત શોધો.

એક પાત્ર $A$ માં $4$ સફેદ અને $1$ કાળો દડો છે; પાત્ર $B$ માં $3$ સફેદ અને $2$ કાળા દડા છે અને પાત્ર $C$ માં $2$ સફેદ અને $3$ કાળા દડા છે. એક દડો $A$ માંથી $B$ માં યાદચ્છિક રીતે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે; ત્યારબાદ એક દડો $B$ માંથી $C$ માં યાદચ્છિક રીતે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે. અંતે,જો $C$ માંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે,તો તે કાળો દડો હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

એક લોકરને નિશ્ચિત ત્રણ-અંકના કોડ ( $000$ અને $999$ ની વચ્ચે) દ્વારા ખોલી શકાય છે. એક અજાણી વ્યક્તિ જે કોડ જાણતી નથી તે યાદચ્છિક રીતે ત્રણ અંક ડાયલ કરીને લોકર ખોલવાનો પ્રયાસ કરે છે. અજાણી વ્યક્તિ $k^{th}$ પ્રયાસમાં સફળ થાય તેની સંભાવના છે

સ્તંભ-$I$ માં આપેલા વિધાનોને સ્તંભ-$II$ સાથે જોડો.

સ્તંભ-$I$	સ્તંભ-$II$
$(A)$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક રેખા રેખાઓ $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{1}$ અને $\frac{x-\frac{8}{3}}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-1}{1}$ ને અનુક્રમે $P$ અને $Q$ માં મળે છે. જો લંબાઈ $PQ=d$ હોય,તો $d^2$ છે	$(p)$ $-4$
$(B)$ $\tan ^{-1}(x+3)-\tan ^{-1}(x-3)=\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ નું સમાધાન કરતા $x$ ના મૂલ્યો છે	$(q)$ $0$
$(C)$ શૂન્યતર સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ એ $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$,$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\vec{b}+\vec{c})=0$ અને $2|\vec{b}+\vec{c}|=|\vec{b}-\vec{a}|$ નું સમાધાન કરે છે. જો $\vec{a}=\mu \vec{b}+4 \vec{c}$ હોય,તો $\mu$ ના શક્ય મૂલ્યો છે	$(r)$ $4$
$(D)$ ધારો કે $f$ એ $[-\pi, \pi]$ પરનું વિધેય છે,જ્યાં $f(0)=9$ અને $x \neq 0$ માટે $f(x)=\frac{\sin \left(\frac{9 x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}$ છે. $\frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) dx$ નું મૂલ્ય છે	$(s)$ $5$
	$(t)$ $6$

ધારો કે $E$ અને $F$ બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે. તેમાંથી બરાબર એક ઘટના બને તેની સંભાવના $\frac{11}{25}$ છે અને એક પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના $\frac{2}{25}$ છે. જો $P(T)$ એ ઘટના $T$ બનવાની સંભાવના દર્શાવતું હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $P(E)=\frac{4}{5}, P(F)=\frac{3}{5}$
$(B)$ $P(E)=\frac{1}{5}, P(F)=\frac{2}{5}$
$(C)$ $P(E)=\frac{2}{5}, P(F)=\frac{1}{5}$
$(D)$ $P(E)=\frac{3}{5}, P(F)=\frac{4}{5}$