एक बिंदु कण पर प्रत्यानयन बल F = -k x^3 कार्य | vedclass

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Question

(B) प्रत्यानयन बल $F = -kx^3$ द्वारा दिया गया है। स्थितिज ऊर्जा $U = \int kx^3 dx = \frac{1}{4} kx^4$ है।$m$ द्रव्यमान वाले कण के लिए जो $A$ आयाम के स

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$T/2$

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(B) प्रत्यानयन बल $F = -kx^3$ द्वारा दिया गया है। स्थितिज ऊर्जा $U = \int kx^3 dx = \frac{1}{4} kx^4$ है।$m$ द्रव्यमान वाले कण के लिए जो $A$ आयाम के साथ दोलन करता है,कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{4} kA^4$ है।किसी भी स्थिति $x$ पर वेग $v$ के लिए: $\frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{4} kx^4 = \frac{1}{4} kA^4$.$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{k}{2m}} \sqrt{A^4 - x^4}$.आवर्तकाल $T$,$x=0$ से $x=A$ तक जाने में लगे समय का $4$ गुना है:$T = 4 \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{\frac{k}{2m}} \sqrt{A^4 - x^4}} = 4 \sqrt{\frac{2m}{k}} \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{A^4 - x^4}}$.माना $x = Ay$,तो $dx = A dy$। जब $x=0, y=0$; जब $x=A, y=1$।$T = 4 \sqrt{\frac{2m}{k}} \int_0^1 \frac{A dy}{\sqrt{A^4 - A^4 y^4}} = \frac{4}{A} \sqrt{\frac{2m}{k}} \int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{1 - y^4}}$.अतः,$T \propto \frac{1}{A}$।यदि आयाम $A$ से बदलकर $2A$ हो जाता है,तो नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार होगा: $\frac{T'}{T} = \frac{A}{2A} = \frac{1}{2}$।इसलिए,$T' = T/2$।

एक बिंदु कण पर प्रत्यानयन बल $F = -k x^3$ कार्य करता है। जब आयाम $A$ है,तो दोलन का आवर्तकाल $T$ है। आयाम $2A$ के लिए आवर्तकाल होगा

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