પૃથ્વીનો એક ઉપગ્રહ $V$ જેટલા સમાન વેગ સાથે વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરી રહ્યો છે. જો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અચાનક અદૃશ્ય થઈ જાય,તો ઉપગ્રહ શું કરશે?

$m_1 \gg m_2$ સાથે $m_1 \ kg$ દળના બીજા તારાની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા $m_2 \ kg$ દળના તારાને ધ્યાનમાં લો. ભારે તારો હળવા તારામાંથી $\gamma \ kg/s$ ના અચળ દરે ધીમે ધીમે દળ મેળવે છે. આ સ્થાનાંતરણ પ્રક્રિયામાં,દળનો અન્ય કોઈ વ્યય થતો નથી. જો તારાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $r$ હોય,તો તેનો સાપેક્ષ ફેરફારનો દર $\frac{1}{r} \frac{dr}{dt} \ (s^{-1} \text{ માં})$ નીચે મુજબ છે:

જો બે પદાર્થો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\frac{1}{R}$ ના પ્રમાણમાં હોય (અને $\frac{1}{R^2}$ ના પ્રમાણમાં નહીં),જ્યાં $R$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે,તો આવા બળ હેઠળ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા કણની કક્ષીય ઝડપ $v$ કોના પ્રમાણમાં હશે?

ભૂસ્થિર ઉપગ્રહની ઊંચાઈ આશરે ........ $km$ છે.

એક ગ્રહ સૂર્યની આસપાસ લંબવૃત્તીય કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે. જ્યારે તે સૂર્યથી સૌથી નજીક હોય ત્યારે તેનું સૂર્યથી અંતર $d_1$ અને વેગ $v_1$ છે. જ્યારે તે સૂર્યથી સૌથી દૂર હોય ત્યારે તેનું સૂર્યથી અંતર $d_2$ હોય,તો તે બિંદુએ તેનો વેગ કેટલો હશે?

$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ એક પદાર્થ નીચી વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરી રહ્યો છે. કક્ષાની ત્રિજ્યાને $R$ જેટલી લઈ શકાય છે. તો આ પદાર્થની કક્ષામાં ઝડપ અને ગ્રહ પરથી પલાયન વેગનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?