एक समुच्चय में (2n + 1) अवयव हैं। उस समुच्चय | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए कि $S$ एक समुच्चय है जिसमें $N = 2n + 1$ अवयव हैं। हमें अधिकतम $n$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है।यह योग द्वारा दी जाती

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$2^{2n}$

Vedclass · Answer

(C) मान लीजिए कि $S$ एक समुच्चय है जिसमें $N = 2n + 1$ अवयव हैं। हमें अधिकतम $n$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है।यह योग द्वारा दी जाती है: $\sum_{r=0}^{n} {}^{2n+1}C_r = {}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_1 + \dots + {}^{2n+1}C_n$.हम द्विपद गुणांकों का गुण जानते हैं: ${}^{N}C_r = {}^{N}C_{N-r}$.अतः,कुल उपसमुच्चयों की संख्या $\sum_{r=0}^{2n+1} {}^{2n+1}C_r = 2^{2n+1}$ है।चूंकि ${}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_1 + \dots + {}^{2n+1}C_n + {}^{2n+1}C_{n+1} + \dots + {}^{2n+1}C_{2n+1} = 2^{2n+1}$,और समरूपता के कारण,पहले $(n+1)$ पदों का योग अंतिम $(n+1)$ पदों के योग के बराबर होता है:$2 	imes \sum_{r=0}^{n} {}^{2n+1}C_r = 2^{2n+1}$.इसलिए,$\sum_{r=0}^{n} {}^{2n+1}C_r = \frac{2^{2n+1}}{2} = 2^{2n}$.

एक समुच्चय में $(2n + 1)$ अवयव हैं। उस समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या जिनमें अधिकतम $n$ अवयव हैं,क्या होगी?

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