$\sum\limits_{r = 0}^{n - 1} {\frac{{^n{C_r}}}{{^n{C_r} + {\,^n}{C_{r + 1}}}}} $ का मान क्या है?

'$MATHEMATICS$' शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है,जब सभी स्वर एक साथ आएं?

$m$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या कितनी है?

एक छात्रवृत्ति के लिए,$2n+1$ उम्मीदवारों में से अधिकतम $n$ उम्मीदवारों का चयन किया जा सकता है। यदि छात्रवृत्ति के लिए कम से कम एक उम्मीदवार के चयन के विभिन्न तरीकों की संख्या $63$ है,तो छात्रवृत्ति के लिए चुने जा सकने वाले उम्मीदवारों की अधिकतम संख्या क्या है?

$8$ पुरुषों और $6$ महिलाओं में से,सात व्यक्तियों का एक समूह बनाया जाना है। यह समूह कितनी तरह से बनाया जा सकता है कि समूह में कम से कम दो महिलाएं शामिल हों?

एक कक्षा में छात्रों को उनकी पिछली परीक्षा के अंकों के अनुसार बैठाया जाता है। एक बार ऐसा होता है कि चार छात्रों को समान अंक मिलते हैं और इसलिए उनका रैंक भी समान होता है। उनकी बैठने की व्यवस्था तय करने के लिए,शिक्षक सभी संभावित व्यवस्थाओं को अलग-अलग कागज़ के टुकड़ों पर लिखना चाहते हैं ताकि लॉटरी द्वारा इनमें से एक को चुना जा सके। कितने कागज़ के टुकड़ों की आवश्यकता है?