'$MATHEMATICS$' शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है,जब सभी स्वर एक साथ आएं?

एक परीक्षा में $6$ बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। यदि पहले तीन प्रश्नों में से प्रत्येक के $4$ विकल्प हैं और अगले तीन प्रश्नों में से प्रत्येक के $5$ विकल्प हैं,तो उत्तरों के कितने अनुक्रम संभव हैं?

$1, 2, 7, 0, 9, 5$ अंकों का उपयोग करके $10$ से विभाज्य कितनी अलग-अलग $6$-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

$BARRACK$ शब्द के अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले चार अक्षरों वाले शब्दों की संख्या है

अंग्रेजी वर्णमाला के $10$ अलग-अलग अक्षर दिए गए हैं। इन अक्षरों का उपयोग करके $5$ अक्षरों के शब्द बनाए जाते हैं। यदि कम से कम एक अक्षर दोहराया जाता है,तो कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?

$(n + 1)$ सफेद और $(n + 1)$ काली गेंदें हैं,प्रत्येक सेट को $1$ से $(n + 1)$ तक क्रमांकित किया गया है। गेंदों को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या क्या है कि आसन्न गेंदें अलग-अलग रंगों की हों?