$a$ બાજુવાળા એક મોટા સમાન ઘનમાંથી $b$ બાજુવાળો એક નાનો ઘન (તૂટક રેખાઓ દ્વારા દર્શાવેલ) નીચે મુજબ કાપવામાં આવે છે,જેથી બંને ઘનનો એક સામાન્ય શિરોબિંદુ $P$ હોય. ધારો કે $X = a/b$. જો બાકી રહેલા ઘનનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નાના ઘનના શિરોબિંદુ $O$ પર હોય,તો $X$ નીચેનામાંથી કયું સમીકરણ સંતોષે છે?

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,જ્યારે $R$ ત્રિજ્યાના એક સમાન ગોળા (કેન્દ્ર $C$ પર) માંથી $1$ ત્રિજ્યાની ગોળાકાર પોલાણ (કેન્દ્ર $O$ પર) કાપવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેલા (છાયાંકિત) ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $G$ પર છે,એટલે કે,પોલાણની સપાટી પર છે. $R$ ને નીચેના સમીકરણ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે:

$8 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર અર્ધગોળાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેની સપાટ સપાટીના કેન્દ્રથી $X \, cm$ અંતરે છે. તો $X$ નું મૂલ્ય $......$ છે.

$2 \,cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક સમાન વર્તુળાકાર તકતી (જેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ પર છે) માંથી $1 \,cm$ ત્રિજ્યાનો વર્તુળાકાર ભાગ એવી રીતે દૂર કરવામાં આવે છે કે જેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાં થતું સ્થાનાંતર મહત્તમ થાય. હવે આ તકતીને તેના સમતલને લંબ અને $O$ માંથી પસાર થતી અક્ષ પર $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે. જો નવા દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $\frac{1}{\sqrt{3}} \,cm$ હોય, તો $\theta$ શોધો. ($^{\circ}$ માં)

આકૃતિમાં દર્શાવેલ $a$ બાજુવાળા સમઘનમાં,$ABOD$ ફલકના મધ્યબિંદુ $G$ થી $BEFO$ ફલકના મધ્યબિંદુ $H$ સુધીનો સદિશ કયો છે?

$2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક મોટી વર્તુળાકાર તકતીમાંથી $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક નાની વર્તુળાકાર તકતી દૂર કરવામાં આવે છે. નવી તકતીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મોટી તકતીના કેન્દ્રથી $\alpha R$ અંતરે છે. $\alpha$ નું મૂલ્ય શોધો.