एक वर्ग ABCD के सभी शीर्ष वक्र x^{2}y^{2}=1 प | vedclass

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Question

(D) वक्र $x^{2}y^{2}=1$ है,जिसका अर्थ है $xy=1$ या $xy=-1$। माना शीर्ष $A(t_1, 1/t_1)$,$B(t_2, -1/t_2)$,$C(-t_1, -1/t_1)$,और $D(-t_2, 1/t_2)$ हैं।चूंक

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$80$

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(D) वक्र $x^{2}y^{2}=1$ है,जिसका अर्थ है $xy=1$ या $xy=-1$। माना शीर्ष $A(t_1, 1/t_1)$,$B(t_2, -1/t_2)$,$C(-t_1, -1/t_1)$,और $D(-t_2, 1/t_2)$ हैं।चूंकि $ABCD$ एक वर्ग है,$AB$ का मध्य बिंदु वक्र $xy=1$ या $xy=-1$ पर स्थित होना चाहिए। $AB$ का मध्य बिंदु $M = (\frac{t_1+t_2}{2}, \frac{1/t_1 - 1/t_2}{2})$ है।$M$ के $xy=1$ पर होने के लिए,$(\frac{t_1+t_2}{2})(\frac{t_2-t_1}{2t_1t_2}) = 1$,जो $t_2^2 - t_1^2 = 4t_1t_2$ में सरल हो जाता है।साथ ही,$AB$ की ढाल $-1$ होनी चाहिए। $AB$ की ढाल $\frac{-1/t_2 - 1/t_1}{t_2 - t_1} = -1$ है,जिसका अर्थ है $t_1+t_2 = t_1t_2(t_2-t_1)$।इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $t_1t_2 = 1$ और $t_2^2 - t_1^2 = 4$ प्राप्त होता है। अतः $t_2^2 + t_1^2 = \sqrt{4^2 + 4(1)^2} = 2\sqrt{5}$।भुजा की लंबाई का वर्ग $AB^2 = (t_2-t_1)^2 + (-1/t_2 - 1/t_1)^2 = 4\sqrt{5}$ है।$ABCD$ का क्षेत्रफल $= AB^2 = 4\sqrt{5}$।अतः,क्षेत्रफल का वर्ग $(4\sqrt{5})^2 = 80$ है।

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