r त्रिज्या वाली एक पतली अर्ध-वृत्ताकार वलय पर | vedclass

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Question

(D) अर्ध-वृत्ताकार वलय पर एक छोटा अवयव $dl$ मानिए। इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda dl$ है,जहाँ $\lambda = \frac{q}{\pi r}$ रैखिक आवेश घनत्व है।चूँकि $dl

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{q}{2\pi^2\varepsilon_0 r^2}\hat{j}$

Vedclass · Answer

(D) अर्ध-वृत्ताकार वलय पर एक छोटा अवयव $dl$ मानिए। इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda dl$ है,जहाँ $\lambda = \frac{q}{\pi r}$ रैखिक आवेश घनत्व है।चूँकि $dl = r d	heta$,इसलिए $dq = \left(\frac{q}{\pi r}ight) (r d	heta) = \frac{q}{\pi} d	heta$ होगा।इस अवयव के कारण केंद्र $O$ पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण $dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{\pi r^2} d	heta = \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} d	heta$ है।सममिति के कारण,ऊर्ध्वाधर अक्ष के विपरीत दिशाओं में स्थित अवयवों के क्षैतिज घटक $(dE \cos	heta)$ एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।नेट विद्युत क्षेत्र ऊर्ध्वाधर घटकों $(dE \sin	heta)$ का $	heta = 0$ से $\pi$ तक का समाकलन है।$E = \int_0^{\pi} dE \sin	heta = \int_0^{\pi} \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} \sin	heta d	heta$.$E = \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} [-\cos	heta]_0^{\pi} = \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} (-(-1) - (-1)) = \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} (2) = \frac{q}{2\pi^2\varepsilon_0 r^2}$.चूँकि आवेश धनात्मक है और ऊपरी अर्ध-वृत्त पर स्थित है,केंद्र पर क्षेत्र नीचे की ओर यानी $-\hat{j}$ दिशा में होगा।अतः,$\vec{E} = -\frac{q}{2\pi^2\varepsilon_0 r^2} \hat{j}$।

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