$A, B, C, D, E$ अक्षरों का उपयोग करके सभी पांच अक्षरों वाले शब्द बनाए जाते हैं और उन्हें अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार क्रमबद्ध किया जाता है। मान लीजिए कि $n$ वें क्रम पर स्थित शब्द $W_{n}$ है। यदि शब्द $W_{n}$ को चुनने की प्रायिकता $P(W_{n}) = 2P(W_{n-1}), n > 1$ का पालन करती है। यदि $P(CDBEA) = \frac{2^{\alpha}}{2^{\beta}-1}, \alpha, \beta \in N$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$6$ अलग-अलग उपन्यासों और $3$ अलग-अलग शब्दकोशों में से,$4$ उपन्यासों और $1$ शब्दकोश का चयन करके एक शेल्फ पर एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित किया जाना है कि शब्दकोश हमेशा बीच में रहे। ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या है:

$1, 2, 3$ और $5$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई (अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है) $4$ अंकों की संख्याएँ जो $15$ से विभाज्य हैं,उनकी संख्या $............$ है।

$(1!)^2 + (2!)^2 + (3!)^2 + \dots + (100!)^2$ को $10^2$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात कीजिए।

कथन-$1$: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली $4$-अंकीय संख्याएँ जो $4$ से विभाज्य हैं,उनकी संख्या $200$ है।
कथन-$2$: यदि किसी संख्या का इकाई अंक $4$ से विभाज्य है,तो वह संख्या $4$ से विभाज्य होती है।

एक हाई स्कूल में,$6$ लड़कों $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5, M_6$ और $5$ लड़कियों $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$ के समूह से एक समिति बनाई जानी है।
$(i)$ मान लीजिए $\alpha_1$ उन तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है ताकि समिति में $5$ सदस्य हों,जिसमें ठीक $3$ लड़के और $2$ लड़कियाँ हों।
$(ii)$ मान लीजिए $\alpha_2$ उन तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है ताकि समिति में कम से कम $2$ सदस्य हों,और लड़कों और लड़कियों की संख्या समान हो।
$(iii)$ मान लीजिए $\alpha_3$ उन तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है ताकि समिति में $5$ सदस्य हों,जिनमें से कम से कम $2$ लड़कियाँ हों।
$(iv)$ मान लीजिए $\alpha_4$ उन तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है ताकि समिति में $4$ सदस्य हों,जिसमें कम से कम $2$ लड़कियाँ हों और $M_1$ तथा $G_1$ दोनों एक साथ समिति में $NOT$ हों।

$LIST-I$	$LIST-II$
$P$. $\alpha_1$ का मान	$1. 136$
$Q$. $\alpha_2$ का मान	$2. 189$
$R$. $\alpha_3$ का मान	$3. 192$
$S$. $\alpha_4$ का मान	$4. 200$
	$5. 381$
	$6. 461$

सही विकल्प है: