वक्रों x^2-y^2=4 और x^2+y^2=4 sqrt{2} के बीच | vedclass

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Question

(B) दिए गए वक्र $x^2-y^2=4$ और $x^2+y^2=4 \sqrt{2}$ हैं।मान लीजिए $(x_0, y_0)$ प्रतिच्छेदन बिंदु है।वक्रों के बीच का कोण प्रतिच्छेदन बिंदु पर उनकी स्प

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$\frac{\pi}{4}$

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(B) दिए गए वक्र $x^2-y^2=4$ और $x^2+y^2=4 \sqrt{2}$ हैं।मान लीजिए $(x_0, y_0)$ प्रतिच्छेदन बिंदु है।वक्रों के बीच का कोण प्रतिच्छेदन बिंदु पर उनकी स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण होता है।पहले वक्र $x^2-y^2=4$ के लिए, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0$, अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$। $(x_0, y_0)$ पर, $m_1 = \frac{x_0}{y_0}$।दूसरे वक्र $x^2+y^2=4 \sqrt{2}$ के लिए, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$, अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$। $(x_0, y_0)$ पर, $m_2 = -\frac{x_0}{y_0}$।स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $	heta$, $	an 	heta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} ight|$ द्वारा दिया जाता है।ढाल के मान रखने पर: $	an 	heta = \left| \frac{\frac{x_0}{y_0} - (-\frac{x_0}{y_0})}{1 + (\frac{x_0}{y_0})(-\frac{x_0}{y_0})} ight| = \left| \frac{2 \frac{x_0}{y_0}}{1 - \frac{x_0^2}{y_0^2}} ight| = \left| \frac{2 x_0 y_0}{y_0^2 - x_0^2} ight|$.चूंकि $x_0^2 - y_0^2 = 4$, इसलिए $y_0^2 - x_0^2 = -4$ है।अतः, $	an 	heta = \left| \frac{2 x_0 y_0}{-4} ight| = \frac{|x_0 y_0|}{2}$।समीकरणों $x_0^2 - y_0^2 = 4$ और $x_0^2 + y_0^2 = 4 \sqrt{2}$ को हल करने पर:जोड़ने पर: $2x_0^2 = 4(1 + \sqrt{2}) \Rightarrow x_0^2 = 2(1 + \sqrt{2})$।घटाने पर: $2y_0^2 = 4(\sqrt{2} - 1) \Rightarrow y_0^2 = 2(\sqrt{2} - 1)$।अतः $x_0^2 y_0^2 = 4(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1) = 4(2 - 1) = 4$।इसलिए, $|x_0 y_0| = 2$।इस मान को $	an 	heta$ में रखने पर: $	an 	heta = \frac{2}{2} = 1$।अतः, $	heta = 	an^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$।

वक्रों $x^2-y^2=4$ और $x^2+y^2=4 \sqrt{2}$ के बीच का कोण है

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