एक दीर्घवृत्त $\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1$ जहाँ $a > b$,$x$ और $y$ अक्षों को स्पर्श करता है और प्रथम चतुर्थांश में स्थित है। मान लीजिए $F_1$ और $F_2$ दीर्घवृत्त की दो नाभियाँ हैं और $O$ मूलबिंदु है जहाँ $OF_1 < OF_2$ है। यदि त्रिभुज $OF_1F_2$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $\angle OF_1F_2 = 120^{\circ}$ है,तो दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता क्या है?

  • A
    $\frac{1}{2\sqrt{3}}$
  • B
    $\frac{2}{3}$
  • C
    $\frac{1}{2}$
  • D
    $\frac{1}{\sqrt{2}}$

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दीर्घवृत्त $9x^2 + 16y^2 = 288$ की स्पर्श रेखा जो निर्देशांक अक्षों पर समान अंतःखंड बनाती है,$X$-अक्ष और $Y$-अक्ष को क्रमशः $A$ और $B$ बिंदुओं पर काटती है। तब $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल (जहाँ $O$ मूलबिंदु है) ज्ञात कीजिए।

$S^{\prime}$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{b^2}=1, (b < 5)$ की नाभि है जो ऋणात्मक $X$-अक्ष पर स्थित है और $P(\theta)$ इस दीर्घवृत्त पर एक बिंदु है। यदि इस दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी $8$ है और $S^{\prime}P = 7$ है,तो $\theta =$

मानक रूप में एक दीर्घवृत्त (ellipse) की लघु अक्ष की लंबाई ($y$-अक्ष पर) $\frac{4}{\sqrt{3}}$ है। यदि यह दीर्घवृत्त रेखा $x+6y=8$ को स्पर्श करता है,तो इसकी उत्केंद्रता (eccentricity) ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदु $P(3 \sin \theta + 4 \cos \theta, 3 \cos \theta - 4 \sin \theta)$ जहाँ $\theta = \frac{\pi}{8}$ से दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ पर स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं,तो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण क्या है?

एक दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी उत्केंद्रता $1/2$ है और शीर्ष $(4, 0)$ और $(10, 0)$ हैं।

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