मानक रूप में एक दीर्घवृत्त (ellipse) की लघु अ | vedclass

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Question

(B) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।लघु अक्ष की लंबाई $2b = \frac{4}{\sqrt{3}}$ दी गई है,अतः $b =

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$\frac{1}{2} \sqrt{\frac{11}{3}}$

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(B) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।लघु अक्ष की लंबाई $2b = \frac{4}{\sqrt{3}}$ दी गई है,अतः $b = \frac{2}{\sqrt{3}}$ और $b^2 = \frac{4}{3}$ है।रेखा $x + 6y = 8$ को $y = -\frac{1}{6}x + \frac{4}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ को स्पर्श करने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है।यहाँ $m = -\frac{1}{6}$ और $c = \frac{4}{3}$ है।मान रखने पर: $(\frac{4}{3})^2 = a^2(-\frac{1}{6})^2 + \frac{4}{3}$.$\frac{16}{9} = \frac{a^2}{36} + \frac{4}{3}$.$\frac{a^2}{36} = \frac{16}{9} - \frac{12}{9} = \frac{4}{9}$.$a^2 = 16$,अतः $a = 4$ है।उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{4/3}{16}} = \sqrt{\frac{11}{12}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{11}{3}}$।

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$k>0$ के लिए,दीर्घवृत्त $9x^2+4y^2-18x+16y-11=0$ पर स्थित बिंदु $P(1, k)$ से इसकी किसी एक नियता (directrix) की न्यूनतम दूरी क्या है?

मान लीजिए $O(0, 0)$ और $A(0, 1)$ दो निश्चित बिंदु हैं। तो बिंदु $P$ का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए ताकि $\Delta AOP$ का परिमाप $4$ हो।

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