अवकल समीकरण (x^2+1) frac{dy}{dx} + xy = x^3 क | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2+1) \frac{dy}{dx} + xy = x^3$ है। दोनों पक्षों को $(x^2+1)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \f

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$\sqrt{1+x^2}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2+1) \frac{dy}{dx} + xy = x^3$ है। दोनों पक्षों को $(x^2+1)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{x}{x^2+1} y = \frac{x^3}{x^2+1}$. यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{x}{x^2+1}$ है। समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx}$ द्वारा दिया जाता है। $IF = e^{\int \frac{x}{x^2+1} dx}$. माना $u = x^2+1$,तो $du = 2x dx$,इसलिए $x dx = \frac{1}{2} du$. $IF = e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du} = e^{\frac{1}{2} \ln(x^2+1)} = e^{\ln((x^2+1)^{1/2})} = \sqrt{x^2+1}$. अतः,सही विकल्प $C$ है।

अवकल समीकरण $(x^2+1) \frac{dy}{dx} + xy = x^3$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

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