अवकल समीकरण frac{dy}{dx} - 2frac{y}{x} = x^3 | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2}{x}$ और $Q(x) = x^3$ है।सबसे पहले,हम स

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$2y = cx^2 + x^4$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2}{x}$ और $Q(x) = x^3$ है।सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करते हैं:$IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln|x|} = e^{\ln|x^{-2}|} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.व्यापक हल $y 	imes (IF) = \int Q(x) 	imes (IF) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।मान रखने पर:$y 	imes \frac{1}{x^2} = \int x^3 	imes \frac{1}{x^2} dx + c$$y 	imes \frac{1}{x^2} = \int x dx + c$$y 	imes \frac{1}{x^2} = \frac{x^2}{2} + c$दोनों पक्षों को $x^2$ से गुणा करने पर:$y = \frac{x^4}{2} + cx^2$$2y = x^4 + 2cx^2$.चूंकि $2c$ एक स्वेच्छ अचर है,हम इसे $C$ के रूप में लिख सकते हैं।अतः,$2y = x^4 + Cx^2$.

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - 2\frac{y}{x} = x^3$ का हल है:

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माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\cos x(3 \sin x+\cos x+3) dy = (1+y \sin x(3 \sin x+\cos x+3)) dx$ का हल है; $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, y(0)=0$। तो,$y\left(\frac{\pi}{3}\right)$ का मान ..... है।

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y - x + xy \cot x = 0$ $(x \neq 0)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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