वक्र y = min {sin^2x, cos^2x } और x- अक्ष के | vedclass

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Question

(C) वक्र $y = \min \{\sin^2x, \cos^2x \}$ उन बिंदुओं पर अपनी परिभाषा बदलता है जहाँ $\sin^2x = \cos^2x$ होता है,अर्थात $	an^2x = 1$,जो $x = \frac{\pi}

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$\frac{5(\pi - 2)}{8}$ वर्ग इकाई

Vedclass · Answer

(C) वक्र $y = \min \{\sin^2x, \cos^2x \}$ उन बिंदुओं पर अपनी परिभाषा बदलता है जहाँ $\sin^2x = \cos^2x$ होता है,अर्थात $	an^2x = 1$,जो $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ देता है।अंतराल $[0, \frac{\pi}{4}]$ में,$\sin^2x \leq \cos^2x$,इसलिए $y = \sin^2x$ है।अंतराल $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ में,$\cos^2x \leq \sin^2x$,इसलिए $y = \cos^2x$ है।अंतराल $[\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$ में,$\sin^2x \leq \cos^2x$,इसलिए $y = \sin^2x$ है।कुल क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2x \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cos^2x \, dx + \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \sin^2x \, dx$.$\sin^2x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ और $\cos^2x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ का उपयोग करते हुए:$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1-\cos 2x}{2} dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1+\cos 2x}{2} dx + \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \frac{1-\cos 2x}{2} dx$.$A = \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} ight]_{0}^{\frac{\pi}{4}} + \left[ \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} ight]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} + \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} ight]_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$.$A = (\frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}) + ((\frac{3\pi}{8} - \frac{1}{4}) - (\frac{\pi}{8} + \frac{1}{4})) + ((\frac{5\pi}{8} - 0) - (\frac{3\pi}{8} + \frac{1}{4}))$.$A = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} + \frac{2\pi}{8} - \frac{2}{4} + \frac{2\pi}{8} - \frac{1}{4} = \frac{5\pi}{8} - 1 = \frac{5\pi - 8}{8}$.

वक्र $y = \min \{\sin^2x, \cos^2x \}$ और $x-$ अक्ष के बीच $x = 0$ और $x = \frac{5\pi}{4}$ कोटियों के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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यदि वक्रों $y^2 = 4kx$ और $y = kx$ $(k > 0)$ के बीच घिरा क्षेत्रफल $\frac{2}{3}$ वर्ग इकाई है, तो $k =$ ?

$x \in \left[ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right]$ के लिए वक्रों $y = \sin^{-1}(\cos x)$ और $y = \cos^{-1}(\sin x)$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल है:

वक्र $y = x^2 + 2$ और रेखाओं $y = x$,$x = 0$ तथा $x = 3$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

यदि $A$,$x \in [0, 2\pi]$ में वक्रों $y = |\cos x|$ और $y = 5 - \frac{4}{\pi} |x - \pi|$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल है,तो $\left( \frac{A}{2} + 2 \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

वक्र ${x^2} = 4y$ और रेखा $x = 4y - 2$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल क्या है?

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