वक्रों y^2=8(x+2),y^2=4(1-x) और Y-अक्ष द्वारा | vedclass

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Question

(C) दिए गए वक्र $y^2=8(x+2)$ और $y^2=4(1-x)$ हैं।सबसे पहले,दोनों परवलयों का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए:$8(x+2) = 4(1-x)$$2(x+2) = 1-x$$2x+4 = 1-x$$

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$\frac{8}{3}(3-\sqrt{2})$

Vedclass · Answer

(C) दिए गए वक्र $y^2=8(x+2)$ और $y^2=4(1-x)$ हैं।सबसे पहले,दोनों परवलयों का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए:$8(x+2) = 4(1-x)$$2(x+2) = 1-x$$2x+4 = 1-x$$3x = -3 \implies x = -1$.$x=-1$ पर,$y^2 = 8(-1+2) = 8$,इसलिए $y = \pm 2\sqrt{2}$।क्षेत्र दो परवलयों और $Y$-अक्ष $(x=0)$ द्वारा परिबद्ध है।क्षेत्रफल $A = 2 \int_{-2}^{0} |y| dx$ द्वारा प्राप्त होता है। विशेष रूप से,$x=-2$ से $x=-1$ तक,सीमा $y^2=8(x+2)$ है,और $x=-1$ से $x=0$ तक,सीमा $y^2=4(1-x)$ है।$A = 2 \left[ \int_{-2}^{-1} \sqrt{8(x+2)} dx + \int_{-1}^{0} \sqrt{4(1-x)} dx \right]$$A = 2 \left[ 2\sqrt{2} \int_{-2}^{-1} (x+2)^{1/2} dx + 2 \int_{-1}^{0} (1-x)^{1/2} dx \right]$$A = 2 \left[ 2\sqrt{2} \left[ \frac{2}{3}(x+2)^{3/2} \right]_{-2}^{-1} + 2 \left[ -\frac{2}{3}(1-x)^{3/2} \right]_{-1}^{0} \right]$$A = 2 \left[ 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{4}{3} \left( (1-0)^{3/2} - (1-(-1))^{3/2} \right) \right]$$A = 2 \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3} (1 - 2\sqrt{2}) \right]$$A = 2 \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3} + \frac{8\sqrt{2}}{3} \right] = 2 \left[ \frac{12\sqrt{2}-4}{3} \right] = \frac{8}{3}(3\sqrt{2}-1)$.

वक्रों $y^2=8(x+2)$,$y^2=4(1-x)$ और $Y$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।

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