વક્રો x = y^2 - 1 અને x = |y| sqrt{1 - y^2} વ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) વક્રો $x = y^2 - 1$ અને $x = |y| \sqrt{1 - y^2}$ છે.બંને વક્રો $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ એ પ્રથમ ચરણમાં $y \in [0, 1]$

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(D) વક્રો $x = y^2 - 1$ અને $x = |y| \sqrt{1 - y^2}$ છે.બંને વક્રો $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ એ પ્રથમ ચરણમાં $y \in [0, 1]$ માટેના ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું થશે.પ્રથમ ચરણમાં,$x = y \sqrt{1 - y^2}$ અને $x = y^2 - 1$ છે.ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:$A = 2 \int_{0}^{1} [y \sqrt{1 - y^2} - (y^2 - 1)] \, dy$$A = 2 \left[ \int_{0}^{1} y \sqrt{1 - y^2} \, dy - \int_{0}^{1} (y^2 - 1) \, dy \right]$ધારો કે $u = 1 - y^2$,તો $du = -2y \, dy$,તેથી $y \, dy = -\frac{1}{2} du$.જ્યારે $y=0, u=1$; જ્યારે $y=1, u=0$.$\int_{0}^{1} y \sqrt{1 - y^2} \, dy = -\frac{1}{2} \int_{1}^{0} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{1/2} \, du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.$\int_{0}^{1} (y^2 - 1) \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} - y \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$.તેથી,$A = 2 \left[ \frac{1}{3} - (-\frac{2}{3}) \right] = 2 \left[ \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \right] = 2(1) = 2$.

વક્રો $x = y^2 - 1$ અને $x = |y| \sqrt{1 - y^2}$ વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

Similar Questions

વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9$ અને પરવલય $y^2 = 8x$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમોમાં) છે...

$y=x^3$, $y=x$ અને $-1 \leq x \leq 1$ વક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?

પરવલય $y=x^2$ અને વક્ર $y=|x|$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

$y=x^2$ અને $y=x^3$ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું છે?

પરવલય $y=\frac{x^2}{4 a}$ અને વક્ર $y=\frac{8 a^3}{x^2+4 a^2}$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module