कथन (A): प्रथम n विषम प्राकृतिक संख्याओं का प | vedclass

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Question

(A) प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग $\sum_{i=1}^{n} (2i-1) = n^2$ है।प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग $\sum_{i=1}^{n} (2i-1

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$(A)$ और $(R)$ दोनों सही हैं। $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है

Vedclass · Answer

(A) प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग $\sum_{i=1}^{n} (2i-1) = n^2$ है।प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग $\sum_{i=1}^{n} (2i-1)^2 = \sum_{i=1}^{n} (4i^2 - 4i + 1) = 4 \sum i^2 - 4 \sum i + \sum 1$ है।मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर: $\sum i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum i = \frac{n(n+1)}{2}$।योग $= 4 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - 4 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] + n = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3} = \frac{n(4n^2-1)}{3}$।अतः,कारण $(R)$ सही है।प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left( \frac{\sum x_i}{n} \right)^2$ है।$\sigma^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3n} - \left( \frac{n^2}{n} \right)^2 = \frac{4n^2-1}{3} - n^2 = \frac{4n^2-1-3n^2}{3} = \frac{n^2-1}{3}$।अतः,कथन $(A)$ सही है और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

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