વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુએ, સ્પર્શકનો ઢાળ તે બિંદ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) પ્રશ્ન મુજબ, સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = x + xy$ છે. પદોને ગોઠવતા, આપણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{dy}{dx} - xy = x$. આ $\frac{dy}{dx} +

Vedclass · Accepted Answer

$y=2 e^{\frac{x^2}{2}}-1$

Vedclass · Answer

(A) પ્રશ્ન મુજબ, સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = x + xy$ છે. પદોને ગોઠવતા, આપણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{dy}{dx} - xy = x$. આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપમાં છે, જ્યાં $P(x) = -x$ અને $Q(x) = x$. સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -x dx} = e^{-\frac{x^2}{2}}$ છે. ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ દ્વારા મળે છે. $y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = \int x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} dx + c$. ધારો કે $t = -\frac{x^2}{2}$, તો $dt = -x dx$, તેથી $x dx = -dt$. $y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = -\int e^t dt + c = -e^t + c = -e^{-\frac{x^2}{2}} + c$. વક્ર $(0, 1)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી, $x=0$ અને $y=1$ મૂકતા: $1 \cdot e^0 = -e^0 + c \Rightarrow 1 = -1 + c \Rightarrow c = 2$. આમ, $y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = -e^{-\frac{x^2}{2}} + 2$. $e^{-\frac{x^2}{2}}$ વડે ભાગતા, આપણને $y = -1 + 2e^{\frac{x^2}{2}}$ અથવા $y = 2e^{\frac{x^2}{2}} - 1$ મળે છે.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y = x^3y^6$ નો ઉકેલ છે:

આપેલ શરત સંતોષતો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો: $\frac{dy}{dx} - 3y \cot x = \sin 2x$; જ્યારે $x = \frac{\pi}{2}$ ત્યારે $y = 2$.

$x \frac{dy}{dx} - 2y = x^2 + \sin \left( \frac{1}{x^2} \right)$ નું સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ નો ઉકેલ હોય અને $y(1) = 1$ નું સમાધાન કરતું હોય,તો $y\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module