वक्र y = frac{2}{3}x^3 + frac{1}{2}x^2 के किन | vedclass

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Question

(A) दिया गया वक्र $y = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,स्पर्श रेखा की ढाल प्राप्त होती है: $\frac{dy}{dx} = 2x^2 + x

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$\left( \frac{1}{2}, \frac{5}{24} \right)$ और $\left( -1, -\frac{1}{6} \right)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया वक्र $y = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,स्पर्श रेखा की ढाल प्राप्त होती है: $\frac{dy}{dx} = 2x^2 + x$ ... $(i)$ चूंकि स्पर्श रेखा अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए झुकाव कोण $	heta = 45^\circ$ या $135^\circ$ (अर्थात $\pm 45^\circ$) होगा। अतः,ढाल $m = 	an(\pm 45^\circ) = \pm 1$. स्थिति $1$: $\frac{dy}{dx} = 1$ $2x^2 + x = 1 \implies 2x^2 + x - 1 = 0$ $(2x - 1)(x + 1) = 0 \implies x = \frac{1}{2}$ या $x = -1$. स्थिति $2$: $\frac{dy}{dx} = -1$ $2x^2 + x = -1 \implies 2x^2 + x + 1 = 0$. यहाँ विविक्तकर $D = 1^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7 अब,संगत $y$-निर्देशांक ज्ञात करते हैं: $x = \frac{1}{2}$ के लिए,$y = \frac{2}{3}(\frac{1}{8}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{4}) = \frac{1}{12} + \frac{1}{8} = \frac{5}{24}$. $x = -1$ के लिए,$y = \frac{2}{3}(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2 = -\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$. अतः,अभीष्ट बिंदु $\left( \frac{1}{2}, \frac{5}{24} ight)$ और $\left( -1, -\frac{1}{6} ight)$ हैं।

वक्र $y = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2$ के किन बिंदुओं पर स्पर्श रेखा अक्षों के साथ समान कोण बनाती है?

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