થેલી $I$ માં $3$ લાલ અને $4$ કાળા દડા છે અને થેલી $II$ માં $4$ લાલ અને $5$ કાળા દડા છે. એક દડો થેલી $I$ માંથી થેલી $II$ માં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે અને ત્યારબાદ થેલી $II$ માંથી એક દડો કાઢવામાં આવે છે. કાઢવામાં આવેલ દડો લાલ રંગનો માલૂમ પડે છે. તો સ્થાનાંતરિત થયેલ દડો કાળો હોવાની સંભાવના શોધો.

ત્રણ થેલીઓ $B_1, B_2$ અને $B_3$ છે. થેલી $B_1$ માં $5$ લાલ અને $5$ લીલા દડા છે,$B_2$ માં $3$ લાલ અને $5$ લીલા દડા છે,અને $B_3$ માં $5$ લાલ અને $3$ લીલા દડા છે. થેલી $B_1, B_2$ અને $B_3$ પસંદ થવાની સંભાવના અનુક્રમે $\frac{3}{10}, \frac{3}{10}$ અને $\frac{4}{10}$ છે. એક થેલી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે અને તેમાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. તો નીચેનામાંથી કયા વિકલ્પો સાચા છે?
$(1)$ પસંદ કરેલી થેલી $B_3$ હોય અને પસંદ કરેલો દડો લીલો હોય તેની સંભાવના $\frac{3}{20}$ છે.
$(2)$ પસંદ કરેલો દડો લીલો હોય તેની સંભાવના $\frac{39}{80}$ છે.
$(3)$ પસંદ કરેલી થેલી $B_3$ હોય,તો પસંદ કરેલો દડો લીલો હોય તેની સંભાવના $\frac{3}{8}$ છે.
$(4)$ પસંદ કરેલો દડો લીલો હોય,તો પસંદ કરેલી થેલી $B_3$ હોય તેની સંભાવના $\frac{4}{13}$ છે.

$k=1, 2, 3$ માટે,પેટી $B_k$ માં $k$ લાલ દડા અને $(k+1)$ સફેદ દડા છે. ધારો કે $P(B_1) = \frac{1}{2}$,$P(B_2) = \frac{1}{3}$,અને $P(B_3) = \frac{1}{6}$ છે. એક પેટી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે અને તેમાંથી એક દડો કાઢવામાં આવે છે. જો કાઢવામાં આવેલો દડો લાલ હોય,તો તે પેટી $B_2$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના કેટલી?

ત્રણ બોક્સ $B_1$,$B_2$ અને $B_3$ માં નીચે મુજબ અલગ અલગ રંગના દડા છે:

બોક્સ	સફેદ,કાળો,લાલ
$B_1$	$2, 1, 2$
$B_2$	$3, 2, 4$
$B_3$	$4, 3, 2$

એક પાસો ફેંકવામાં આવે છે. જો $1$ અથવા $2$ આવે તો બોક્સ $B_1$ પસંદ કરવામાં આવે છે. જો $3$ અથવા $4$ આવે તો બોક્સ $B_2$ પસંદ કરવામાં આવે છે અને જો $5$ અથવા $6$ આવે તો બોક્સ $B_3$ પસંદ કરવામાં આવે છે. આ રીતે બોક્સ પસંદ કર્યા પછી,તે બોક્સમાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. જો પસંદ કરેલ દડો લાલ રંગનો હોય,તો તે બોક્સ $B_2$ માંથી પસંદ કરવામાં આવ્યો હોય તેની સંભાવના કેટલી?

જો મશીન યોગ્ય રીતે સેટ કરવામાં આવે,તો તે $90\%$ સ્વીકાર્ય વસ્તુઓ બનાવે છે. જો તે ખોટી રીતે સેટ કરવામાં આવે,તો તે માત્ર $40\%$ સ્વીકાર્ય વસ્તુઓ બનાવે છે. ભૂતકાળનો અનુભવ દર્શાવે છે કે $80\%$ સેટઅપ યોગ્ય રીતે કરવામાં આવે છે. જો ચોક્કસ સેટઅપ પછી,મશીન $2$ સ્વીકાર્ય વસ્તુઓ બનાવે,તો મશીન યોગ્ય રીતે સેટ થયેલ હોવાની સંભાવના શોધો.

થેલી $A$ માં $2$ સફેદ અને $3$ લાલ દડા છે અને થેલી $B$ માં $4$ સફેદ અને $5$ લાલ દડા છે. જો કોઈ એક થેલીમાંથી યાદચ્છિક રીતે એક દડો પસંદ કરવામાં આવે અને તે લાલ રંગનો માલૂમ પડે,તો તે દડો થેલી $B$ માંથી પસંદ કરવામાં આવ્યો હોય તેની સંભાવના કેટલી?