થેલી $A$ માં $3$ સફેદ અને $5$ કાળી દડા છે, જ્યારે થેલી $B$ માં $4$ સફેદ અને $3$ કાળી દડા છે. થેલી $A$ માંથી યાદચ્છિક રીતે એક દડો પસંદ કરવામાં આવે છે અને થેલી $B$ માં મૂકવામાં આવે છે. જો હવે થેલી $B$ માંથી યાદચ્છિક રીતે એક દડો પસંદ કરવામાં આવે, તો આ દડો સફેદ હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ત્રણ કંપનીઓ $C_1, C_2, C_3$ કારના ટાયર બનાવે છે. એક કાર ઉત્પાદક કંપની તેની જરૂરિયાતના $40 \%$ $C_1$ પાસેથી, $35 \%$ $C_2$ પાસેથી અને $25 \%$ $C_3$ પાસેથી ખરીદે છે. કંપની જાણે છે કે $C_1$ દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવેલ ટાયરમાંથી $2 \%$, $C_2$ દ્વારા $3 \%$ અને $C_3$ દ્વારા $4 \%$ ટાયર ખામીયુક્ત છે. જો મેળવેલ માલસામાનમાંથી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ ટાયર ખામીયુક્ત જણાય, તો તે $C_2$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવ્યું હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ધારો કે $A, B,$ અને $C$ ત્રણ પરસ્પર સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે. બે વિધાનો $S_1$ અને $S_2$ ધ્યાનમાં લો:
$S_1 : A$ અને $B \cup C$ સ્વતંત્ર છે.
$S_2 : A$ અને $B \cap C$ સ્વતંત્ર છે.
તો:

પાત્ર $A, B$ અને $C$ માં અનુક્રમે $4$ લાલ,$6$ કાળા; $5$ લાલ,$5$ કાળા અને $\lambda$ લાલ,$4$ કાળા દડા છે. એક પાત્ર યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે અને એક દડો કાઢવામાં આવે છે. જો કાઢવામાં આવેલ દડો લાલ હોય અને તે પાત્ર $C$ માંથી કાઢવામાં આવ્યો હોય તેની સંભાવના $0.4$ હોય,તો પરવલય $y^2 = \lambda x$ માં અંતર્ગત સૌથી મોટા સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈનો વર્ગ શોધો,જેનું એક શિરોબિંદુ પરવલયનું શિરોબિંદુ છે.

$3$ બોક્સની સામગ્રી નીચે મુજબ છે. જો એક બોક્સ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે અને તેમાંથી ત્રણ દડા કાઢવામાં આવે અને તે ત્રણેય અલગ-અલગ રંગના હોય,તો તે બોક્સ $2$ માંથી આવ્યા હોય તેની સંભાવના શોધો.
બોક્સ $1$ માં $1$ કાળો,$2$ સફેદ,$3$ લાલ દડા છે.
બોક્સ $2$ માં $1$ કાળો,$1$ સફેદ,$2$ લાલ દડા છે.
બોક્સ $3$ માં $5$ કાળા,$4$ સફેદ,$1$ લાલ દડા છે.

કોલેજના વિદ્યાર્થીઓમાંથી,તે જાણીતું છે કે $60 \%$ હોસ્ટેલમાં રહે છે અને $40 \%$ ડે-સ્કોલર (હોસ્ટેલમાં ન રહેતા) છે. પાછલા વર્ષના પરિણામો દર્શાવે છે કે હોસ્ટેલમાં રહેતા તમામ વિદ્યાર્થીઓમાંથી $30 \%$ વિદ્યાર્થીઓ $A$ ગ્રેડ મેળવે છે અને ડે-સ્કોલર્સમાંથી $20 \%$ વિદ્યાર્થીઓ તેમની વાર્ષિક પરીક્ષામાં $A$ ગ્રેડ મેળવે છે. વર્ષના અંતે,કોલેજમાંથી એક વિદ્યાર્થીને યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે અને તે $A$ ગ્રેડ ધરાવે છે. તો તે વિદ્યાર્થી હોસ્ટેલર હોવાની સંભાવના કેટલી છે?