નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{ccc}0 & a & -b \\ -a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right|=0$

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & a & -b \\ -a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right|$.
આ $3 \times 3$ કક્ષાનો વિષમ-સંમિત (skew-symmetric) નિશ્ચાયક છે.
આપણે પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = 0(0 - (-c^2)) - a(0 - (-bc)) + (-b)(-ac - 0)$
$\Delta = 0 - a(bc) - b(-ac)$
$\Delta = -abc + abc$
$\Delta = 0$.
વૈકલ્પિક રીતે,નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,જો આપણે $R_1, R_2,$ અને $R_3$ માંથી $-1$ સામાન્ય લઈએ,તો આપણને મળે:
$\Delta = (-1)^3 \left|\begin{array}{ccc}0 & -a & b \\ a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right| = -\Delta^T$
કારણ કે $\Delta = -\Delta$,તેથી $2\Delta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta = 0$.