सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{lll}1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right|=(a-b)(b-c)(c-a)$

(N/A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_{1} \rightarrow R_{1}-R_{2}$ और $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{3}$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1-1 & a-b & a^{2}-b^{2} \\ 1-1 & b-c & b^{2}-c^{2} \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}0 & a-b & (a-b)(a+b) \\ 0 & b-c & (b-c)(b+c) \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right|$.
$R_{1}$ से $(a-b)$ और $R_{2}$ से $(b-c)$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = (a-b)(b-c) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & a+b \\ 0 & 1 & b+c \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right|$.
$R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ लागू करने पर:
$\Delta = (a-b)(b-c) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & a+b \\ 0 & 0 & c-a \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right|$.
$C_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (a-b)(b-c) \cdot 1 \cdot \left|\begin{array}{cc}1 & a+b \\ 0 & c-a\end{array}\right| = (a-b)(b-c)(c-a)(1-0) = (a-b)(b-c)(c-a)$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।