અતિવલય $9x^2 - 16y^2 + 18x + 32y - 151 = 0$ નું કેન્દ્ર શોધો.

જો અતિવલય $x^2-k y^2=3$ ના અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ હોય અને $e$ તેની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો આ અતિવલયની સાપેક્ષમાં રેખા $x+y-1=0$ નો ધ્રુવ શોધો.

ધારો કે $A(2 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ અને $B(2 \sec \phi, 3 \tan \phi)$ જ્યાં $\theta+\phi=\frac{\pi}{2}$,એ અતિવલય $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ પરના બે બિંદુઓ છે. જો $(\alpha, \beta)$ એ $A$ અને $B$ આગળ અતિવલયના અભિલંબનું છેદબિંદુ હોય,તો $\beta$ ની કિંમત શોધો.

એક ચલ બિંદુનો બિંદુપથ શોધો જેની અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ના સંદર્ભમાં સ્પર્શકની જીવા ઉગમબિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે.

જો બિંદુ $(1,1)$ અને ઉગમબિંદુ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{1} = 1$ $(a > 0)$ ની સાપેક્ષમાં એક જ પ્રદેશમાં આવેલા હોય,તો $a$ નો વિસ્તાર શોધો.

અતિવલય $H : x^{2}-2y^{2}=4$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે બિંદુ $P(4, \sqrt{6})$ આગળનો સ્પર્શક $x$-અક્ષને $Q$ માં અને નાભિલંબને $R(x_{1}, y_{1})$ માં મળે છે,જ્યાં $x_{1}>0$. જો $F$ એ $H$ ની નાભિ હોય જે બિંદુ $P$ ની નજીક હોય,તો $\Delta QFR$ નું ક્ષેત્રફળ ....... જેટલું થાય.