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Question

(D) $(i)$ मान लीजिए $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \sin ^m x \cos x d x$.$\sin x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\cos x d x = d t$ प्राप्त होता है।जब $x = 0, t =

Vedclass · Accepted Answer

$(i)$ और (ii) दोनों सत्य हैं

Vedclass · Answer

(D) $(i)$ मान लीजिए $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \sin ^m x \cos x d x$.$\sin x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\cos x d x = d t$ प्राप्त होता है।जब $x = 0, t = 0$ और जब $x = \pi / 2, t = 1$.$I_1 = \int_0^1 t^m d t = \left[ \frac{t^{m+1}}{m+1} \right]_0^1 = \frac{1}{m+1} (1^{m+1} - 0^{m+1}) = \frac{1}{m+1}$.अतः,कथन $(i)$ सत्य है।(ii) मान लीजिए $I_2 = \int_0^{\pi / 2} \sin x \cos ^n x d x$.$\cos x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$-\sin x d x = d t$,अर्थात $\sin x d x = -d t$ प्राप्त होता है।जब $x = 0, t = 1$ और जब $x = \pi / 2, t = 0$.$I_2 = \int_1^0 t^n (-d t) = \int_0^1 t^n d t = \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1} (1^{n+1} - 0^{n+1}) = \frac{1}{n+1}$.अतः,कथन (ii) सत्य है।इसलिए,$(i)$ और (ii) दोनों सत्य हैं।

निम्नलिखित निश्चित समाकलों के संबंध में सही विकल्प चुनें:
$(i)$ $\int_0^{\pi / 2} \sin ^m(x) \cos (x) d x = \frac{1}{m+1}$
(ii) $\int_0^{\pi / 2} \sin (x) \cos ^n(x) d x = \frac{1}{n+1}$

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निम्नलिखित निश्चित समाकलों के संबंध में सही विकल्प चुनें:$(i)$ $\int_0^{\pi / 2} \sin ^m(x) \cos (x) d x = \frac{1}{m+1}$(ii) $\int_0^{\pi / 2} \sin (x) \cos ^n(x) d x = \frac{1}{n+1}$