(1+x^2)^4(1+x^3)^7(1+x^4)^{12} के विस्तार में | vedclass

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Question

(C) हमें $(1+x^2)^4(1+x^3)^7(1+x^4)^{12}$ के विस्तार में $x^{11}$ का गुणांक ज्ञात करना है।यह $2a + 3b + 4c = 11$ समीकरण के अऋणात्मक पूर्णांक हलों को ख

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$1113$

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(C) हमें $(1+x^2)^4(1+x^3)^7(1+x^4)^{12}$ के विस्तार में $x^{11}$ का गुणांक ज्ञात करना है।यह $2a + 3b + 4c = 11$ समीकरण के अऋणात्मक पूर्णांक हलों को खोजने के समान है,जहाँ $0 \le a \le 4$,$0 \le b \le 7$,और $0 \le c \le 12$ है।संभावित $(a, b, c)$ के संयोजन:$1$. यदि $b=1$ है,तो $2a + 4c = 8 \implies a + 2c = 4$। संभावित $(a, c)$ मान $(4, 0), (2, 1), (0, 2)$ हैं।$2$. यदि $b=3$ है,तो $2a + 4c = 2 \implies a + 2c = 1$। संभावित $(a, c)$ मान $(1, 0)$ है।द्विपद प्रमेय $\binom{n}{r}$ का उपयोग करके गुणांकों की गणना:- $(a, b, c) = (4, 1, 0)$ के लिए: $\binom{4}{4} 	imes \binom{7}{1} 	imes \binom{12}{0} = 7$।- $(a, b, c) = (2, 1, 1)$ के लिए: $\binom{4}{2} 	imes \binom{7}{1} 	imes \binom{12}{1} = 504$।- $(a, b, c) = (0, 1, 2)$ के लिए: $\binom{4}{0} 	imes \binom{7}{1} 	imes \binom{12}{2} = 462$।- $(a, b, c) = (1, 3, 0)$ के लिए: $\binom{4}{1} 	imes \binom{7}{3} 	imes \binom{12}{0} = 140$।योग: $7 + 504 + 462 + 140 = 1113$।

$(1+x^2)^4(1+x^3)^7(1+x^4)^{12}$ के विस्तार में $x^{11}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

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