(x + 3)^{n - 1} + (x + 3)^{n - 2}(x + 2) + (x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ પદાવલિ એ પ્રથમ પદ $a = (x + 3)^{n - 1}$,સામાન્ય ગુણોત્તર $q = \frac{x + 2}{x + 3}$ અને $n$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણ

Vedclass · Accepted Answer

$^nC_r(3^{n - r} - 2^{n - r})$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ પદાવલિ એ પ્રથમ પદ $a = (x + 3)^{n - 1}$,સામાન્ય ગુણોત્તર $q = \frac{x + 2}{x + 3}$ અને $n$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{a(1 - q^n)}{1 - q}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \frac{(x + 3)^{n - 1} [1 - (\frac{x + 2}{x + 3})^n]}{1 - \frac{x + 2}{x + 3}} = \frac{(x + 3)^{n - 1} [\frac{(x + 3)^n - (x + 2)^n}{(x + 3)^n}]}{\frac{(x + 3) - (x + 2)}{x + 3}} = \frac{(x + 3)^n - (x + 2)^n}{(x + 3) - (x + 2)} = (x + 3)^n - (x + 2)^n$.
હવે,આપણે $(x + 3)^n - (x + 2)^n$ ના વિસ્તરણમાં $x^r$ નો સહગુણક શોધીએ.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(x + a)^n = \sum_{k=0}^{n} {^nC_k} x^{n-k} a^k$.
$(x + 3)^n$ માટે,$x^r$ ધરાવતું પદ $^nC_{n-r} x^r 3^{n-r} = ^nC_r x^r 3^{n-r}$ છે.
$(x + 2)^n$ માટે,$x^r$ ધરાવતું પદ $^nC_{n-r} x^r 2^{n-r} = ^nC_r x^r 2^{n-r}$ છે.
આમ,$x^r$ નો સહગુણક $^nC_r 3^{n-r} - ^nC_r 2^{n-r} = ^nC_r(3^{n - r} - 2^{n - r})$ છે.

$(x + 3)^{n - 1} + (x + 3)^{n - 2}(x + 2) + (x + 3)^{n - 3}(x + 2)^2 + ... + (x + 2)^{n - 1}$ ના વિસ્તરણમાં $x^r$ ના સહગુણકો શોધો,જ્યાં $0 \le r \le (n - 1)$ છે.

Similar Questions

$\left(x^4-\frac{1}{x^3}\right)^{15}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{32}$ અને $x^{-31}$ ના સહગુણકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$(1 + x)(1 - x)^n$ ના વિસ્તરણમાં $x^n$ નો સહગુણક શોધો.

$(x+\sqrt{x^2-1})^8+(x-\sqrt{x^2-1})^8$ ના વિસ્તરણમાં $x$ ની મહત્તમ ઘાતનો સહગુણક શોધો.

$(1 + x)^n$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં $2^{nd}$,$3^{rd}$ અને $4^{th}$ પદોના સહગુણકો $A.P.$ માં હોય,તો $n^2 - 9n$ ની કિંમત શોધો.

જો $\left(\sqrt{\frac{1}{x^{1+\log _{10} x}}}+x^{\frac{1}{12}}\right)^{6}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં ચોથું પદ $200$ હોય અને $x > 1$ હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module