m के उन मानों का पूर्ण समुच्चय ज्ञात कीजिए जि | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = e^{\sin x} + 2m\sin x + 1$। $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ सभी $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ के लिए होना

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$\left[ -\frac{1}{2}, \infty \right)$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(x) = e^{\sin x} + 2m\sin x + 1$। $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ सभी $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ के लिए होना चाहिए। $f'(x) = \cos x \cdot e^{\sin x} + 2m \cos x = \cos x (e^{\sin x} + 2m)$। चूंकि $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$,इसलिए $\cos x > 0$ है। अतः,हमें $e^{\sin x} + 2m > 0$ सभी $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ के लिए चाहिए। इसका अर्थ है $2m > -e^{\sin x}$,या $m > -\frac{e^{\sin x}}{2}$। जैसे-जैसे $x$,$0$ से $\frac{\pi}{2}$ तक बदलता है,$\sin x$,$0$ से $1$ तक बदलता है। इसलिए,$e^{\sin x}$,$e^0 = 1$ से $e^1 = e$ तक बदलता है। अतः,$-\frac{e^{\sin x}}{2}$,$-\frac{1}{2}$ से $-\frac{e}{2}$ तक बदलता है। असमिका $m > -\frac{e^{\sin x}}{2}$ को सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,$m$ को $-\frac{e^{\sin x}}{2}$ के उच्चक (supremum) से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए। $-\frac{e^{\sin x}}{2}$ का उच्चक $-\frac{1}{2}$ है। अतः,$m \ge -\frac{1}{2}$,जो कि $\left[ -\frac{1}{2}, \infty \right)$ है।

$m$ के उन मानों का पूर्ण समुच्चय ज्ञात कीजिए जिनके लिए फलन $f(x) = e^{\sin x} + 2m\sin x + 1$ सभी $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ के लिए वर्धमान है।

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