मान लीजिए L = sqrt[3]{2012} + sqrt[3]{2013} + | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = x^{1/3}$ है। चूँकि $f''(x) = -\frac{2}{9} x^{-5/3} < 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ अवतल (concave down) है।निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसा

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$L + R < 2I$

Vedclass · Answer

(A) माना $f(x) = x^{1/3}$ है। चूँकि $f''(x) = -\frac{2}{9} x^{-5/3} निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,$n = 1000$ और $h = 1$ के लिए ट्रैपेज़ॉइडल नियम के तहत $T ट्रैपेज़ॉइडल योग $T = \frac{h}{2} [f(2012) + 2f(2013) + \ldots + 2f(3011) + f(3012)]$ है।यहाँ $L = \sum_{k=2012}^{3011} f(k)$ और $R = \sum_{k=2013}^{3012} f(k)$ है।अतः $L + R = f(2012) + 2f(2013) + \ldots + 2f(3011) + f(3012) = 2T$ है।चूँकि $T < I$ है,इसलिए $2T < 2I$,जिसका अर्थ है कि $L + R < 2I$।

मान लीजिए $L = \sqrt[3]{2012} + \sqrt[3]{2013} + \ldots + \sqrt[3]{3011}$,$R = \sqrt[3]{2013} + \sqrt[3]{2014} + \ldots + \sqrt[3]{3012}$,और $I = \int_{2012}^{3012} \sqrt[3]{x} \, dx$. तब,

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