$t=0$ समय पर मूल बिंदु पर विराम अवस्था में स्थित $1.0 \ kg$ द्रव्यमान के एक पिंड पर विचार करें। पिंड पर एक बल $\overrightarrow{F}=(\alpha t \hat{i}+\beta \hat{j})$ लगाया जाता है,जहाँ $\alpha=1.0 \ Ns^{-1}$ और $\beta=1.0 \ N$ है। समय $t=1.0 \ s$ पर मूल बिंदु के परितः पिंड पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ $|\vec{\tau}|=\frac{1}{3} \ Nm$
$(B)$ बल आघूर्ण $\vec{\tau}$,इकाई सदिश $+\hat{k}$ की दिशा में है
$(C)$ $t=1 \ s$ पर पिंड का वेग $\overrightarrow{v}=\frac{1}{2}(\hat{i}+2 \hat{j}) \ ms^{-1}$ है
$(D)$ $t=1 \ s$ पर पिंड के विस्थापन का परिमाण $\frac{1}{6} \ m$ है

एक डिस्क जिसका वेग $v_0$ और कोणीय गति $\omega_0$ वामावर्त (anticlockwise) दिशा में है,उसे एक खुरदरे तख्ते पर रखा गया है। प्रारंभ में तख्ता स्थिर है। (मान लें कि तख्ते की लंबाई बहुत बड़ी है)। $INCORRECT$ (गलत) विकल्प चुनें।

$1\; m$ लंबी सीधी समान छड़ का एक सिरा एक क्षैतिज मेज पर धुरी (pivot) पर टिका है। इसे स्थिर अवस्था से तब छोड़ा जाता है जब यह क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है (चित्र देखें)। जब यह मेज से टकराती है तो इसकी कोणीय गति $\sqrt{n}\; s^{-1}$ दी गई है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है। $n$ का मान है

$M=0.2 \ kg$ द्रव्यमान का एक कण प्रारंभ में $xy$-समतल में बिंदु $(x=-l, y=-h)$ पर विरामावस्था में है,जहाँ $l=10 \ m$ और $h=1 \ m$ है। कण को $t=0$ समय पर धनात्मक $x$-दिशा में $a=10 \ m/s^2$ के निरंतर त्वरण के साथ त्वरित किया जाता है। मूल बिंदु के सापेक्ष इसका कोणीय संवेग और बलाघूर्ण,$SI$ इकाइयों में,क्रमशः $\vec{L}$ और $\vec{\tau}$ द्वारा दर्शाए गए हैं। $\hat{i}, \hat{j}$ और $\hat{k}$ क्रमशः धनात्मक $x, y$ और $z$-दिशाओं में इकाई सदिश हैं। यदि $\hat{k}=\hat{i} \times \hat{j}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$(A)$ कण $t=2 \ s$ समय पर बिंदु $(x=l, y=-h)$ पर पहुँचता है।
$(B)$ जब कण बिंदु $(x=l, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{\tau}=2 \hat{k}$ होता है।
$(C)$ जब कण बिंदु $(x=l, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{L}=4 \hat{k}$ होता है।
$(D)$ जब कण बिंदु $(x=0, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{\tau}=\hat{k}$ होता है।

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य:
$(1)$ कोणीय स्थिति $\theta$ एक अदिश राशि है,जबकि कोणीय विस्थापन $\Delta \theta$ एक सदिश राशि है।
$(2)$ घूर्णन गति में किसी कण के लिए रैखिक वेग $\vec{v}$ और कोणीय वेग $\vec{\omega}$ के बीच का संबंध $\vec{v} = \vec{r} \times \vec{\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
$(3)$ किसी दृढ़ पिंड का जड़त्व आघूर्ण स्थिर होता है।
$(4)$ संवेग के आघूर्ण को कोणीय संवेग कहा जाता है।

$m$ द्रव्यमान और $\ell$ लंबाई की एक समान छड़ $AB$ एक चिकनी क्षैतिज सतह पर विरामावस्था में है। छड़ के सिरे $B$ पर छड़ के लंबवत $P$ का आवेग (impulse) लगाया जाता है। छड़ को समकोण पर घूमने में लगा समय है