एक फलन f: [-1, 1] to R पर विचार करें जहाँ f(x | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \sum_{k=0}^{n} \alpha_{2k+1} (\sin^{-1} x)^{2k+1} - \cot^{-1} x$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}

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एकैकी और अंतःक्षेपी

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(B) दिया गया है $f(x) = \sum_{k=0}^{n} \alpha_{2k+1} (\sin^{-1} x)^{2k+1} - \cot^{-1} x$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \left( \alpha_1 + 3\alpha_3 (\sin^{-1} x)^2 + \dots + (2n+1)\alpha_{2n+1} (\sin^{-1} x)^{2n} \right) + \frac{1}{1+x^2}$. चूँकि $\alpha_i > 0$ है और पद $(\sin^{-1} x)^{2k}$ ऋणेतर हैं,इसलिए सभी $x \in (-1, 1)$ के लिए $f'(x) > 0$ है। अतः,$f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है,जिसका अर्थ है कि यह एकैकी (one-one) है। प्रांत $[-1, 1]$ है,इसलिए परिसर $[f(-1), f(1)]$ है। $f(-1) = \alpha_1(-\pi/2) + \dots + \alpha_{2n+1}(-\pi/2)^{2n+1} - (3\pi/4)$ और $f(1) = \alpha_1(\pi/2) + \dots + \alpha_{2n+1}(\pi/2)^{2n+1} - (\pi/4)$. चूँकि परिसर $[f(-1), f(1)]$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ का उपसमुच्चय है लेकिन $R$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन अंतःक्षेपी (into) है। अतः,$f(x)$ एकैकी और अंतःक्षेपी है।

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