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Question

(C) माना $f(x) = \operatorname{sech}^{-1} x + \operatorname{cosech}^{-1} x$. $\operatorname{sech}^{-1} x$ का प्रांत $x \in (0, 1]$ है। $\operatorname{

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$a=\log (1+\sqrt{2}), b=\infty$

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(C) माना $f(x) = \operatorname{sech}^{-1} x + \operatorname{cosech}^{-1} x$. $\operatorname{sech}^{-1} x$ का प्रांत $x \in (0, 1]$ है। $\operatorname{cosech}^{-1} x$ का प्रांत $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ है। $f(x)$ का प्रांत इन दोनों का सर्वनिष्ठ है, जो $x \in (0, 1]$ है। हम जानते हैं कि $\operatorname{sech}^{-1} x = \ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}ight)$ और $\operatorname{cosech}^{-1} x = \ln\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}ight)$. जैसे-जैसे $x 	o 0^+$, $f(x) 	o \infty$ होता है। $x = 1$ पर, $f(1) = \operatorname{sech}^{-1}(1) + \operatorname{cosech}^{-1}(1) = 0 + \ln(1+\sqrt{2}) = \ln(1+\sqrt{2})$. चूंकि $f(x)$ अंतराल $(0, 1]$ पर एक निरंतर ह्रासमान फलन है, इसलिए परिसर $[\ln(1+\sqrt{2}), \infty)$ है। अतः, $a = \ln(1+\sqrt{2})$ और $b = \infty$।

यदि $\operatorname{sech}^{-1} x + \operatorname{cosech}^{-1} x$ का परिसर $[a, b]$ है, तो

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