क्षेत्र R={(x, y) in mathbb{R}^{2}: x^{2} leq | vedclass

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Question

(D) क्षेत्र $R$ परवलय $y=x^{2}$ और रेखा $y=2x$ द्वारा घिरा हुआ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $x^{2}=2x$ द्वारा प्राप्त होते हैं,जो $x=0$ और $x=2$ देते हैं। अत

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$3 \alpha^{2}-8 \alpha^{3 / 2}+8=0$

Vedclass · Answer

(D) क्षेत्र $R$ परवलय $y=x^{2}$ और रेखा $y=2x$ द्वारा घिरा हुआ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $x^{2}=2x$ द्वारा प्राप्त होते हैं,जो $x=0$ और $x=2$ देते हैं। अतः,बिंदु $(0,0)$ और $(2,4)$ हैं।क्षेत्र $R$ का कुल क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:$A = \int_{0}^{2} (2x - x^{2}) dx = [x^{2} - \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$.वैकल्पिक रूप से,$y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,क्षेत्र $y \in [0, 4]$ के लिए $x = \sqrt{y}$ (दाहिनी ओर) और $x = y/2$ (बाईं ओर) द्वारा घिरा हुआ है:$A = \int_{0}^{4} (\sqrt{y} - \frac{y}{2}) dy = [\frac{2}{3}y^{3/2} - \frac{y^{2}}{4}]_{0}^{4} = \frac{2}{3}(8) - \frac{16}{4} = \frac{16}{3} - 4 = \frac{4}{3}$.रेखा $y=\alpha$ क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित करती है। निचले भाग का क्षेत्रफल ($y=0$ से $y=\alpha$) कुल क्षेत्रफल का आधा है:$\int_{0}^{\alpha} (\sqrt{y} - \frac{y}{2}) dy = \frac{1}{2} 	imes \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$.समाकलन का मान ज्ञात करने पर:$[\frac{2}{3}y^{3/2} - \frac{y^{2}}{4}]_{0}^{\alpha} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{2}{3}\alpha^{3/2} - \frac{\alpha^{2}}{4} = \frac{2}{3}$.हर को हटाने के लिए $12$ से गुणा करने पर:$8\alpha^{3/2} - 3\alpha^{2} = 8 \Rightarrow 3\alpha^{2} - 8\alpha^{3/2} + 8 = 0$.

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