અંતરાલ [1,3] માં List-I માં આપેલા તમામ વિધેયો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ, જો વિધેય $f(x)$ એ $[a,b]$ પર સતત હોય અને $(a,b)$ પર વિકલનીય હોય, તો ઓછામાં ઓછું એક $c \in (a,b)$ એવું મળે કે જેથ

Vedclass · Accepted Answer

$A-IV, B-III, C-II, D-V$

Vedclass · Answer

(D) લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ, જો વિધેય $f(x)$ એ $[a,b]$ પર સતત હોય અને $(a,b)$ પર વિકલનીય હોય, તો ઓછામાં ઓછું એક $c \in (a,b)$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ થાય.$A. f(x) = |x-1|$. આ વિધેય $x=1$ પર વિકલનીય નથી, જે અંતરાલ $[1,3]$ નો અંતિમ બિંદુ છે. તેથી, $LMVT$ લાગુ પડતું નથી. જોકે, જો આપણે છેદક રેખાનો ઢાળ લઈએ, તો $\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{2-0}{2} = 1$. $x > 1$ માટે, $f'(x) = 1$. કોઈપણ $c \in (1,3)$ આને સંતોષે છે. વિકલ્પો જોતા, $A-II$ એ હેતુપૂર્વકની જોડી છે.$B. f(x) = \log x$. $f'(c) = \frac{\log 3 - \log 1}{3-1} = \frac{\log 3}{2} = \log 3^{1/2} = \log \sqrt{3}$. $f'(x) = 1/x$ હોવાથી, $1/c = \log \sqrt{3} \implies c = 1/\log \sqrt{3} = \log_3 e^2$. તેથી, $B-III$.$C. f(x) = x^2+x+1$. $f'(c) = \frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{(9+3+1)-(1+1+1)}{2} = \frac{13-3}{2} = 5$. $f'(x) = 2x+1$ હોવાથી, $2c+1 = 5 \implies 2c = 4 \implies c = 2$. તેથી, $C-II$.$D. f(x) = e^x$. $f'(c) = \frac{e^3-e^1}{3-1} = \frac{e^3-e}{2}$. $f'(x) = e^x$ હોવાથી, $e^c = \frac{e^3-e}{2} \implies c = \log \left(\frac{e^3-e}{2}\right)$. તેથી, $D-V$.જોડકાં: $A-II, B-III, C-II, D-V$.

Similar Questions

બધા જ બે વાર વિકલનીય વિધેયો $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ માટે,જ્યાં $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?

વિધેય $f(x) = \sin(2 \pi x)$ માટે અંતરાલ $x \in [-1, 1]$ પર રોલના પ્રમેયનું પાલન કરતા $C$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા કેટલી છે?

અંતરાલ $[1, 5]$ પર $f(x) = \sqrt{25-x^2}$ માટે લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $c$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module