અંતરાલ $[1, 5]$ પર $f(x) = \sqrt{25-x^2}$ માટે લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $c$ ની કિંમત શોધો.

આપેલ છે કે $f(x) = 4 - (\frac{1}{2} - x)^{2/3}$,$g(x) = \begin{cases} \frac{\tan([x])}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$,$h(x) = \{x\}$,અને $k(x) = 5^{\log_2(x + 3)}$. તો,અંતરાલ $[0, 1]$ માં લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ કોના માટે લાગુ પડતું $\text{નથી}$?

અંતરાલ $[a, b]$ માં વિધેય $f(x) = x^{2} - 4x - 3$ માટે મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) ચકાસો,જ્યાં $a = 1$ અને $b = 4$ છે.

ધારો કે $f:(a, b) \rightarrow R$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(x) = \int_{a}^{x} g(t) \, dt$ એ વિકલનીય વિધેય $g(x)$ માટે છે. જો $f(x) = 0$ ને $(a, b)$ માં બરાબર પાંચ ભિન્ન બીજ હોય,તો $g(x) g'(x) = 0$ ને ઓછામાં ઓછા:

$f(x)=\sqrt{x^2-x}, x \in[1,4]$ માટે લેગ્રાન્જ મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $c$ ની કિંમત શોધો.

જો વિધેય $f(x) = x(x+3)e^{-x/2}$ એ $[-3, 0]$ માં રોલના પ્રમેયની તમામ શરતોનું પાલન કરે છે, તો $f'(x) = 0$ નું એક બીજ શું છે?