अंतराल [1, 5] पर f(x) = sqrt{25-x^2} के लिए ल | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \sqrt{25-x^2}$.सबसे पहले,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{25-x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{25-x^2}}$.लै

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$\sqrt{15}$

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(A) दिया गया है $f(x) = \sqrt{25-x^2}$.सबसे पहले,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{25-x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{25-x^2}}$.लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (1, 5)$ मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(5) - f(1)}{5 - 1}$ हो।यहाँ $f(5) = \sqrt{25 - 25} = 0$ और $f(1) = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ है।अतः,$f'(c) = \frac{0 - \sqrt{24}}{5 - 1} = \frac{-\sqrt{24}}{4} = \frac{-2\sqrt{6}}{4} = \frac{-\sqrt{6}}{2}$.अवकलज की तुलना करने पर: $\frac{-c}{\sqrt{25-c^2}} = \frac{-\sqrt{6}}{2}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{c^2}{25-c^2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.$2c^2 = 3(25 - c^2) \implies 2c^2 = 75 - 3c^2 \implies 5c^2 = 75 \implies c^2 = 15$.चूंकि $c \in (1, 5)$,इसलिए $c = \sqrt{15}$ प्राप्त होता है।

अंतराल $[1, 5]$ पर $f(x) = \sqrt{25-x^2}$ के लिए लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

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