परमाणु क्रमांक Z वाले हाइड्रोजन-जैसे परमाणु क | vedclass

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Question

(A) $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v = \frac{Z e^2}{2 \epsilon_0 n h}$ द्वारा दिया जाता है।इलेक्ट्रॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e

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$72$

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(A) $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v = \frac{Z e^2}{2 \epsilon_0 n h}$ द्वारा दिया जाता है।इलेक्ट्रॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = \frac{h}{m v} = \frac{2 \epsilon_0 n h^2}{m Z e^2}$ है।$E = k_B T$ ऊष्मीय ऊर्जा वाले न्यूट्रॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_n = \frac{h}{\sqrt{2 m_N k_B T}}$ है।$\lambda_e = \lambda_n$ को बराबर करने पर,हमें $\frac{h}{m v} = \frac{h}{\sqrt{2 m_N k_B T}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $m^2 v^2 = 2 m_N k_B T$।$v = \frac{Z e^2}{2 \epsilon_0 n h}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = \frac{m^2 Z^2 e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2 m_N k_B}$ प्राप्त होता है।$n=3$ रखने पर,$T = \frac{m^2 Z^2 e^4}{72 \epsilon_0^2 h^2 m_N k_B}$।चूंकि $a_0 = \frac{h^2 \epsilon_0}{\pi m e^2}$,इसलिए $a_0^2 = \frac{h^4 \epsilon_0^2}{\pi^2 m^2 e^4}$।$\frac{m^2 e^4}{\epsilon_0^2} = \frac{h^4}{\pi^2 a_0^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = \frac{Z^2 h^2}{72 \pi^2 a_0^2 m_N k_B}$ प्राप्त होता है।इसे दिए गए समीकरण $T = \frac{Z^2 h^2}{\alpha \pi^2 a_0^2 m_N k_B}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 72$ प्राप्त होता है।

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