$(5, 15)$ और $(21, 15)$ पर नाभियों वाले एक दीर्घवृत्त पर विचार करें। यदि $X$-अक्ष दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा है,तो इसकी दीर्घ अक्ष की लंबाई क्या है?

एक दीर्घवृत्त का मानक रूप में समीकरण ज्ञात कीजिए,यदि इसकी नाभियों के बीच की दूरी $2$ इकाई है और इसके नाभिलंब की लंबाई $\frac{15}{2}$ इकाई है।

कथन $(A)$: यदि दीर्घवृत्त $9x^2 + 16y^2 = 144$ के बिंदु $P(\frac{\pi}{3})$ पर स्पर्श रेखा और अभिलंब मुख्य अक्ष को क्रमशः $Q$ और $R$ पर मिलते हैं,तो $QR = \frac{57}{8}$ है।
कारण $(R)$: यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $P(\theta)$ पर स्पर्श रेखा और अभिलंब मुख्य अक्ष को क्रमशः $Q$ और $R$ पर मिलते हैं,तो $QR = \left| \frac{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}{a \cos \theta} \right|$ है।

दीर्घवृत्त $x^2 + 4y^2 = 4$ निर्देशांक अक्षों के साथ संरेखित एक आयत में अंतर्निहित है,जो स्वयं एक अन्य दीर्घवृत्त में अंतर्निहित है जो बिंदु $(4,0)$ से होकर गुजरता है। तो बाहरी दीर्घवृत्त का समीकरण क्या है?

सिद्ध कीजिए कि बिंदुओं $(\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0)$ और $(-\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0)$ से रेखा $\frac{x}{a} \cos \theta+\frac{y}{b} \sin \theta=1$ पर खींचे गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $b^{2}$ है।

$(0, 3)$ केंद्र वाले और दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ की नाभियों से गुजरने वाले वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।