एक अधिककोणीय त्रिभुज ABC पर विचार करें जिसमें | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए त्रिभुज के कोण $A, C, B$ हैं जैसे कि $A < C < B$। दिया गया है $B - A = \frac{\pi}{2}$।मान लीजिए भुजाएँ $n-d, n, n+d$ समांतर श्रेणी में ह

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$1008, 0.25$

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(A) मान लीजिए त्रिभुज के कोण $A, C, B$ हैं जैसे कि $A मान लीजिए भुजाएँ $n-d, n, n+d$ समांतर श्रेणी में हैं।परिवृत्त त्रिज्या $R=1$ के साथ ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,भुजाएँ $2R \sin A, 2R \sin C, 2R \sin B$ हैं।अतः,$n-d = 2 \sin A$,$n = 2 \sin C$,$n+d = 2 \sin B$।चूंकि $A+B+C = \pi$ और $B = A + \frac{\pi}{2}$,हमारे पास $C = \pi - (A + B) = \pi - (2A + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - 2A$ है।$2n = (n-d) + (n+d) = 2 \sin A + 2 \sin B$ से,हमें $n = \sin A + \sin B = \sin A + \cos A$ प्राप्त होता है।साथ ही $n = 2 \sin C = 2 \sin(\frac{\pi}{2} - 2A) = 2 \cos 2A$।$n$ की तुलना करने पर: $\sin A + \cos A = 2 \cos 2A = 2(\cos^2 A - \sin^2 A) = 2(\cos A - \sin A)(\cos A + \sin A)$।चूंकि $\sin A + \cos A 
eq 0$,हमारे पास $1 = 2(\cos A - \sin A) \Rightarrow \cos A - \sin A = \frac{1}{2}$ है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1 - 2 \sin A \cos A = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin 2A = \frac{3}{4}$।क्षेत्रफल $a = \frac{1}{2} (n-d)(n+d) \sin C = \frac{1}{2} (2 \sin A)(2 \sin B) \sin C = 2 \sin A \cos A \sin C = \sin 2A \cos 2A$।चूंकि $\sin 2A = \frac{3}{4}$,$\cos 2A = \sqrt{1 - (3/4)^2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$।$a = \frac{3}{4} 	imes \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{16}$।$(64a)^2 = (64 	imes \frac{3\sqrt{7}}{16})^2 = (4 	imes 3\sqrt{7})^2 = 144 	imes 7 = 1008$।अंतःत्रिज्या $r = \frac{a}{s} = \frac{a}{(3n/2)} = \frac{2a}{3n} = \frac{2 \sin 2A \cos 2A}{3(2 \cos 2A)} = \frac{\sin 2A}{3} = \frac{3/4}{3} = \frac{1}{4} = 0.25$।

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