વર્તુળ C: x^2+y^2=4 અને પરવલય P: y^2=8x ધ્યાન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે પરવલય $P: y^2=8x$ પરનું બિંદુ $(x_1, y_1) = (2t^2, 4t)$ છે.વર્તુળ $C: x^2+y^2=4$ ની જીવાનું સમીકરણ જે $(x_1, y_1)$ પર દુભાગે છે તે $T=S_1$

Vedclass · Accepted Answer

$80$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે પરવલય $P: y^2=8x$ પરનું બિંદુ $(x_1, y_1) = (2t^2, 4t)$ છે.વર્તુળ $C: x^2+y^2=4$ ની જીવાનું સમીકરણ જે $(x_1, y_1)$ પર દુભાગે છે તે $T=S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ $xx_1+yy_1-4$ છે અને $S_1$ એ $x_1^2+y_1^2-4$ છે.તેથી,$xx_1+yy_1 = x_1^2+y_1^2$.આ જીવા $(\alpha, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણી પાસે $\alpha x_1 = x_1^2+y_1^2$ છે.$x_1=2t^2$ અને $y_1=4t$ મૂકતા,આપણને $\alpha(2t^2) = (2t^2)^2 + (4t)^2 = 4t^4 + 16t^2$ મળે છે.$2t^2$ વડે ભાગતા ($t 
eq 0$ ધારીને),આપણને $\alpha = 2t^2 + 8$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t^2 = \frac{\alpha-8}{2}$.જીવા વર્તુળની અંદર અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે,મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વર્તુળની અંદર હોવું જોઈએ,તેથી $x_1^2+y_1^2 $x_1^2+y_1^2 = \alpha x_1 = \alpha(2t^2)$ મૂકતા,આપણી પાસે $2\alpha t^2 $t^2 = \frac{\alpha-8}{2}$ મૂકતા,આપણને $\alpha \left(\frac{\alpha-8}{2}ight) $\alpha^2 - 8\alpha - 4 = 0$ ના બીજ $\alpha = \frac{8 \pm \sqrt{64+16}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{5}$ છે.તેથી,$4-2\sqrt{5} ઉપરાંત,$t^2 > 0$ હોવાથી,આપણી પાસે $\frac{\alpha-8}{2} > 0$ છે,તેથી $\alpha > 8$.આ બંનેને જોડતા,$\alpha \in (8, 4+2\sqrt{5})$.તેથી,$p=8$ અને $q=4+2\sqrt{5}$.તેથી $(2q-p)^2 = (2(4+2\sqrt{5})-8)^2 = (8+4\sqrt{5}-8)^2 = (4\sqrt{5})^2 = 16 	imes 5 = 80$.

Similar Questions

જો બિંદુ $P$ એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી બિંદુ $A(1, 1)$ અને રેખા $x+y+2=0$ થી તેનું અંતર સમાન રહે,તો $P$ નો બિંદુપથ શું છે?

રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ એ પરવલય $y^2 = 4a(x + a)$ ને સ્પર્શશે જો:

પરવલય ${x^2} = 2x + 2y$ નું નાભિ (focus) શોધો.

જો $\theta$ એ બિંદુ $(1,5)$ માંથી પરવલય $y^2=9x$ પર દોરેલા સ્પર્શકો વચ્ચેનો લઘુકોણ હોય,તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module