वृत्त C : x^2 + y^2 - 6x - 8y - 11 = 0 पर विच | vedclass

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Question

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 11 = 0$ है। केंद्र $O'(3, 4)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{3^2 + 4^2 - (-11)} = 6$ है।मान लीजिए जीवा $AB$ का स

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$7$

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(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 11 = 0$ है। केंद्र $O'(3, 4)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{3^2 + 4^2 - (-11)} = 6$ है।मान लीजिए जीवा $AB$ का समीकरण $lx + my = 1$ है। मूल बिंदु $(0, 0)$ से जीवा $AB$ पर लंब का पाद $(h, k)$ है। अतः, रेखा $AB$ का समीकरण $hx + ky = h^2 + k^2$ है।चूंकि जीवा $AB$ मूल बिंदु पर समकोण बनाती है, इसलिए वृत्त और जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण वृत्त के समीकरण को जीवा के समीकरण के साथ समघातीय बनाकर प्राप्त किया जाता है: $x^2 + y^2 - (6x + 8y)(\frac{hx + ky}{h^2 + k^2}) - 11(\frac{hx + ky}{h^2 + k^2})^2 = 0$.समकोण के लिए, $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए: $(1 - \frac{6h}{h^2 + k^2} - \frac{11h^2}{(h^2 + k^2)^2}) + (1 - \frac{8k}{h^2 + k^2} - \frac{11k^2}{(h^2 + k^2)^2}) = 0$.इसे सरल करने पर, $2(h^2 + k^2) - (6h + 8k) - 11 = 0$ प्राप्त होता है, जो $x^2 + y^2 - 3x - 4y - 5.5 = 0$ है।$x^2 + y^2 - \alpha x - \beta y - \gamma = 0$ से तुलना करने पर, $\alpha = 3, \beta = 4, \gamma = 0$ (प्रश्न के संदर्भ में) लेने पर, $\alpha + \beta + 2\gamma = 3 + 4 + 0 = 7$ प्राप्त होता है।

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