वृत्तों ${x^2} + {(y - 1)^2} = 9$ और ${(x - 1)^2} + {y^2} = 25$ पर विचार करें। वे इस प्रकार हैं कि:

यदि समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ एक ऐसे वृत्त को दर्शाता है जिसका व्यास $x$-अक्ष है और त्रिज्या $a$ है,तो

एक त्रिभुज $\Delta$ पर विचार करें जिसकी दो भुजाएँ $x$-अक्ष और रेखा $x+y+1=0$ पर स्थित हैं। यदि $\Delta$ का लंबकेंद्र $(1,1)$ है,तो त्रिभुज $\Delta$ के शीर्षों से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।

रेखा $y=mx+c$ वृत्त $x^2+y^2=r^2$ को दो भिन्न बिंदुओं पर काटती है,यदि

$1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त $C$ एक समबाहु त्रिभुज $PQR$ में अंतर्निहित है। $C$ के भुजाओं $PQ, QR, RP$ के साथ स्पर्श बिंदु क्रमशः $D, E, F$ हैं। रेखा $PQ$ का समीकरण $\sqrt{3}x + y - 6 = 0$ है और बिंदु $D$ $\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$ है। इसके अलावा,यह दिया गया है कि मूल बिंदु और $C$ का केंद्र रेखा $PQ$ के एक ही तरफ हैं।
$1.$ वृत्त $C$ का समीकरण है
$(A) (x - 2\sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 1$
$(B) (x - 2\sqrt{3})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = 1$
$(C) (x - \sqrt{3})^2 + (y + 1)^2 = 1$
$(D) (x - \sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 1$
$2.$ बिंदु $E$ और $F$ हैं
$(A) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), (\sqrt{3}, 0)$
$(B) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right), (\sqrt{3}, 0)$
$(C) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$
$(D) \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$
$3.$ भुजाओं $QR, RP$ के समीकरण हैं
$(A) y = \frac{2}{\sqrt{3}}x + 1, y = -\frac{2}{\sqrt{3}}x - 1$
$(B) y = \frac{1}{\sqrt{3}}x, y = 0$
$(C) y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + 1, y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x - 1$
$(D) y = \sqrt{3}x, y = 0$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

$L_1: 2x + 3y + p - 3 = 0$; $L_2: 2x + 3y + p + 3 = 0$ पर विचार करें,जहाँ $p$ एक वास्तविक संख्या है,और $C: x^2 + y^2 + 6x - 10y + 30 = 0$ है।
$STATEMENT-1$: यदि रेखा $L_1$ वृत्त $C$ की एक जीवा है,तो रेखा $L_2$ हमेशा वृत्त $C$ का व्यास नहीं होती है।
$STATEMENT-2$: यदि रेखा $L_1$ वृत्त $C$ का एक व्यास है,तो रेखा $L_2$ वृत्त $C$ की जीवा नहीं है।