फलन f : mathbb{R} rightarrow mathbb{R} पर विच | vedclass

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Question

(B) फलन इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} -x(2 - \sin(\frac{1}{x})), & x  0 \end{cases}

Vedclass · Accepted Answer

$(-\infty, 0)$ और $(0, \infty)$ पर मोनोटोनिक नहीं

Vedclass · Answer

(B) फलन इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} -x(2 - \sin(\frac{1}{x})), & x  0 \end{cases}$.$x > 0$ के लिए,$f'(x) = (2 - \sin(\frac{1}{x})) + x(-\cos(\frac{1}{x}) \cdot (-\frac{1}{x^2})) = 2 - \sin(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x})$.जैसे-जैसे $x 	o 0^+$,पद $\frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x})$ अत्यधिक बड़े धनात्मक और ऋणात्मक मानों के बीच दोलन करता है। इस प्रकार,$f'(x)$ $0$ के किसी भी पड़ोस में अनंत बार अपना चिह्न बदलता है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ $(0, \infty)$ पर मोनोटोनिक नहीं है।$x इसी तरह,जैसे-जैसे $x 	o 0^-$,पद $-\frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x})$ दोलन करता है,जिससे $f'(x)$ अनंत बार अपना चिह्न बदलता है। इसलिए,$f(x)$ $(-\infty, 0)$ पर मोनोटोनिक नहीं है।अतः,$f$ $(-\infty, 0)$ और $(0, \infty)$ पर मोनोटोनिक नहीं है।

List-$I$	List-$II$
$A$. यदि $y = \|x\| + \|x - 2\|$ है, तो $x = 2$ पर, $\frac{dy}{dx} =$	$I$. $2$
$B$. यदि $f(x) = \|\cos 2x\|$ है, तो $f'(\frac{\pi}{4} +) =$	$II$. $0$
$C$. यदि $f(x) = \sin(\pi[x])$ है, जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है, तो $f'(1-) =$	$III$. $-2$
$D$. यदि $f(x) = \log\|x - 1\|$, $x \neq 1$ है, तो $f'(\frac{1}{2}) =$	$IV$. अस्तित्व में नहीं है

$(a)$ $x\|x\|$	$(i)$ $(-1, 1)$ में सतत है
$(b)$ $\sqrt{\|x\|}$	$(ii)$ $(-1, 1)$ में अवकलनीय है
$(c)$ $x+[x]$	$(iii)$ $(-1, 1)$ में निरंतर वर्धमान है
$(d)$ $\|x-1\|+\|x+1\|$	$(iv)$ $(-1, 1)$ में कम से कम एक बिंदु पर अवकलनीय नहीं है

फलन $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ पर विचार करें जो $f(x) = \begin{cases} (2 - \sin(\frac{1}{x}))|x|, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है। तो $f$ है

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