फलन f(x) = begin{cases} x sin frac{pi}{x} & t | vedclass

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Question

(D) $x > 0$ के लिए,अवकलज $f'(x) = \sin \frac{\pi}{x} - \frac{\pi}{x} \cos \frac{\pi}{x}$ द्वारा प्राप्त होता है।हम $(0, 1)$ में ऐसे बिंदु $c$ ज्ञात कर

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अनंत

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(D) $x > 0$ के लिए,अवकलज $f'(x) = \sin \frac{\pi}{x} - \frac{\pi}{x} \cos \frac{\pi}{x}$ द्वारा प्राप्त होता है।हम $(0, 1)$ में ऐसे बिंदु $c$ ज्ञात करना चाहते हैं जिनके लिए $f'(c) = 0$ हो।इसका अर्थ है $\sin \frac{\pi}{c} = \frac{\pi}{c} \cos \frac{\pi}{c}$,या $	an \frac{\pi}{c} = \frac{\pi}{c}$।अंतरालों $I_k = \left[ \frac{1}{k+1}, \frac{1}{k} ight]$ पर विचार करें,जहाँ $k = 1, 2, 3, \dots$ है।इन अंतरालों के अंत बिंदुओं पर,$f\left(\frac{1}{k+1}ight) = \frac{1}{k+1} \sin((k+1)\pi) = 0$ और $f\left(\frac{1}{k}ight) = \frac{1}{k} \sin(k\pi) = 0$ होता है।चूंकि $f(x)$ अंतराल $[0, 1]$ पर सतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है,रोल के प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक $k \in \mathbb{N}$ के लिए $\left( \frac{1}{k+1}, \frac{1}{k} ight)$ में कम से कम एक बिंदु $c_k$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c_k) = 0$ हो।चूंकि $(0, 1)$ में ऐसे अनंत अंतराल $I_k$ मौजूद हैं,इसलिए ऐसे अनंत बिंदु हैं जहाँ $f'(x) = 0$ होता है।

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